1. sin2x = 2sinxcosx. Обозначим sinx = a и cosx = b. Тогда заменим sinxcosx в уравнении на ab.
Получим уравнение: 2ab + √2a = 2sin(π/2 - x) + √2.
2. Заметим, что sin(π/2 - x) = cosx, поэтому заменим sin(π/2 - x) на cosx в уравнении.
Получим уравнение: 2ab + √2a = 2cosx + √2.
3. Теперь объединим все слагаемые с a:
2ab + √2a = √2 + 2cosx.
4. Вынесем a за скобки:
a(2b + √2) = √2 + 2cosx.
5. Разделим обе части уравнения на 2b + √2:
a = (√2 + 2cosx) / (2b + √2).
Таким образом, мы получили выражение для sinx через cosx.
б) Теперь найдем все корни уравнения sin2x + √2sinx = 2sin(π/2 - x) + √2 на отрезке [π; 5π/2].
1. Заметим, что если sinx = 0, то и sin2x = 0, и √2sinx = 0, поэтому подставим sinx = 0 в уравнение:
sin2x + √2sinx = 0 + 0 = 0.
Таким образом, sinx = 0 является одним из корней уравнения.
2. Рассмотрим случай, когда sinx ≠ 0. Тогда можем поделить обе части уравнения на sinx:
sinx + √2 = 2cotx + √2.
3. Перепишем уравнение в виде:
sinx - 2cotx = 0.
4. Заметим, что sinx = 2cotx эквивалентно sinx = 2cosx/sinx.
Тогда уравнение примет вид:
sin2x = 2cosx.
5. Разделим обе части уравнения на cosx:
tan2x = 2.
а) Разберемся с каждым слагаемым по отдельности:
1. sin2x = 2sinxcosx. Обозначим sinx = a и cosx = b. Тогда заменим sinxcosx в уравнении на ab.
Получим уравнение: 2ab + √2a = 2sin(π/2 - x) + √2.
2. Заметим, что sin(π/2 - x) = cosx, поэтому заменим sin(π/2 - x) на cosx в уравнении.
Получим уравнение: 2ab + √2a = 2cosx + √2.
3. Теперь объединим все слагаемые с a:
2ab + √2a = √2 + 2cosx.
4. Вынесем a за скобки:
a(2b + √2) = √2 + 2cosx.
5. Разделим обе части уравнения на 2b + √2:
a = (√2 + 2cosx) / (2b + √2).
Таким образом, мы получили выражение для sinx через cosx.
б) Теперь найдем все корни уравнения sin2x + √2sinx = 2sin(π/2 - x) + √2 на отрезке [π; 5π/2].
1. Заметим, что если sinx = 0, то и sin2x = 0, и √2sinx = 0, поэтому подставим sinx = 0 в уравнение:
sin2x + √2sinx = 0 + 0 = 0.
Таким образом, sinx = 0 является одним из корней уравнения.
2. Рассмотрим случай, когда sinx ≠ 0. Тогда можем поделить обе части уравнения на sinx:
sinx + √2 = 2cotx + √2.
3. Перепишем уравнение в виде:
sinx - 2cotx = 0.
4. Заметим, что sinx = 2cotx эквивалентно sinx = 2cosx/sinx.
Тогда уравнение примет вид:
sin2x = 2cosx.
5. Разделим обе части уравнения на cosx:
tan2x = 2.
6. Решим уравнение tan2x = 2:
tan2x = sin2x/cos2x = 2.
7. Подставим замену t = tanx:
t^2 = 2.
8. Найдем все значения t, удовлетворяющие уравнению:
t = ±√2.
9. Вернемся к нашей замене:
tanx = ±√2.
10. Найдем все значения x, удовлетворяющие уравнению на отрезке [π; 5π/2]:
x1 = arctan(-√2) ≈ 4.3197.
x2 = arctan(√2) ≈ 1.0304.
11. Добавим к этому корню sinx = 0.
Таким образом, все корни уравнения sin2x + √2sinx = 2sin(π/2 - x) + √2 на отрезке [π; 5π/2] равны:
x1 ≈ 4.3197, x2 ≈ 1.0304 и sinx = 0.