Question

Среди прямоугольников вписанных в окружность радиусом 3 см найдите прямоугольник с наибольшей площадью

Answer 1

Хорошо, давайте разберем этот вопрос.

Для начала, давайте определим, что такое вписанный прямоугольник. Вписанный прямоугольник - это прямоугольник, вершины которого лежат на окружности.

У нас есть окружность радиусом 3 см. Предположим, что у нас есть прямоугольник со сторонами a и b, который вписан в эту окружность.

Теперь, чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью, нам нужно определить, какие должны быть его размеры.

Для этого, давайте воспользуемся некоторыми математическими соображениями.

Во-первых, вписанный прямоугольник будет являться прямоугольником со сторонами a и b, где a и b - полуоси эллипса, вписанного в окружность.

Известно, что сумма двух полуосей эллипса равна двум радиусам окружности. То есть a + b = 6 (2 * радиус).

Давайте теперь рассмотрим площадь такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его двух сторон, то есть S = a * b.

Теперь нам нужно найти максимальное значение S при условии, что a + b = 6.

Для этого воспользуемся методом нахождения экстремумов функции. В данном случае, наша функция S = a * b.

Мы имеем ограничение a+b=6. Решим это уравнение относительно одной из переменных, скажем b. Получим b=6-a.

Теперь подставим это значение в выражение для площади S: S = a * (6-a) = 6a - a^2.

Теперь у нас есть функция S = 6a - a^2, которую нужно максимизировать.

Для этого найдем её производную и приравняем её к нулю: S' = 6 - 2a = 0. Решая это уравнение, мы найдем, что a = 3.

Теперь, чтобы найти b, подставим значение a = 3 в уравнение a + b = 6: 3 + b = 6, откуда b = 3.

Итак, мы получили, что a = 3 и b = 3. То есть прямоугольник с наибольшей площадью - это квадрат со стороной 3 см.

Теперь мы можем убедиться, что это действительно так, подставив значения a = 3 и b = 3 в формулу площади S = a * b: S = 3 * 3 = 9.

Таким образом, площадь прямоугольника с наибольшей площадью, вписанного в окружность радиусом 3 см, равна 9 квадратным сантиметрам.