Question

Даны векторы : a {3; −2; −1}, b {1; 2; −4}. Найдите:

а) координаты вектора m= -3a +2b ;

б) косинус угла между векторами a и b

(все буквы - вектора)

Answer 1

Данный вопрос относится к векторной алгебре, которая изучается в средней школе. Давайте рассмотрим поэтапное решение каждой части задачи:

а) Найдем координаты вектора m = -3a + 2b. Для этого умножим каждую координату векторов a и b на соответствующие коэффициенты и сложим полученные произведения для каждой координаты:

m = -3a + 2b
m = -3 * {3; -2; -1} + 2 * {1; 2; -4}
m = {-9; 6; 3} + {2; 4; -8}
m = {-9 + 2; 6 + 4; 3 - 8}
m = {-7; 10; -5}

Таким образом, координаты вектора m равны {-7; 10; -5}.

б) Найдем косинус угла между векторами a и b. Для этого воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (a * b) / (||a|| * ||b||),

где а * b - скалярное произведение векторов a и b,
||a|| и ||b|| - длины векторов a и b соответственно.

Сначала выпишем скалярное произведение векторов a и b:

a * b = (3 * 1) + (-2 * 2) + (-1 * -4)
a * b = 3 - 4 + 4
a * b = 3

Теперь найдем длины векторов a и b:

||a|| = √(3^2 + (-2)^2 + (-1)^2)
||a|| = √(9 + 4 + 1)
||a|| = √14

||b|| = √(1^2 + 2^2 + (-4)^2)
||b|| = √(1 + 4 + 16)
||b|| = √21

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

cos(θ) = (a * b) / (||a|| * ||b||)
cos(θ) = 3 / (√14 * √21)
cos(θ) = 3 / (√(14 * 21))
cos(θ) = 3 / (√294)
cos(θ) ≈ 0.1693

Таким образом, косинус угла между векторами a и b примерно равен 0.1693.

Надеюсь, данное объяснение было понятным и полезным для вас. Если возникнут еще вопросы, пожалуйста, обратитесь.