2. Игральную кость бросают дважды. Событие
A — «в первый раз выпало
шесть очков». Событие
B — «во второй раз выпало шесть очков».
а) Опишите словами событие
A U B. Выпишите элементарные события,
благоприятствующие каждому из данных событий и событию
A U B;
б) Найдите
P(A U B).
а) Событие A - «в первый раз выпало шесть очков», а событие B - «во второй раз выпало шесть очков». Событие A U B - «выпало шесть очков в первый раз или во второй раз или и в первый раз, и во второй раз».
Теперь давайте выведем все элементарные события, которые могут произойти:
1. В первый раз выпало шесть очков, и во второй раз выпало шесть очков.
2. В первый раз выпало шесть очков, а во второй раз не выпало шесть очков.
3. Во второй раз выпало шесть очков, а в первый раз не выпало шесть очков.
4. Ни в первый, ни во второй раз не выпало шесть очков.
б) Теперь найдем вероятность P(A U B), то есть вероятность события A U B.
Для этого нам необходимо знать вероятности каждого из элементарных событий.
Предположим, что игральная кость честная и у нее есть 6 граней с числами от 1 до 6, и каждое число выпадает с одинаковой вероятностью.
1. Вероятность того, что в первый раз выпало шесть очков и во второй раз выпало шесть очков:
P(A) = 1/6 (вероятность выпадения шестерки в первый раз) * 1/6 (вероятность выпадения шестерки во второй раз) = 1/36
2. Вероятность того, что в первый раз выпало шесть очков, а во второй раз не выпало:
P(A') = 1/6 (вероятность выпадения шестерки в первый раз) * 5/6 (вероятность выпадения любого числа отличного от шестерки во второй раз) = 5/36
3. Вероятность того, что во второй раз выпало шесть очков, а в первый раз не выпало:
P(B') = 1/6 (вероятность выпадения шестерки во второй раз) * 5/6 (вероятность выпадения любого числа отличного от шестерки в первый раз) = 5/36
4. Вероятность того, что ни в первый, ни во второй раз не выпало шесть очков:
P(A' ∩ B') = 5/6 (вероятность выпадения любого числа отличного от шестерки в первый раз) * 5/6 (вероятность выпадения любого числа отличного от шестерки во второй раз) = 25/36
Теперь сложим вероятности всех благоприятствующих событий, чтобы найти P(A U B):
P(A U B) = P(A) + P(A') + P(B') - P(A' ∩ B')
= 1/36 + 5/36 + 5/36 - 25/36
= 16/36
= 4/9
Итак, вероятность того, что выпало шесть очков в первый раз или во второй раз или и в первый раз, и во второй раз, равна 4/9.