Задано координати вершин трикутника ABC A(14;−4), B(2;5), C(18;18). .
Знайти:
1) загальне рівняння та довжину медіани СК;
Находим координаты точки К как середину стороны АВ.
К = (((14+2)/2); ((-4+5)/2) = (8; 0,5).
Вектор СК = (8-18; 0,5-18) = (-10; -17,5).
Уравнение СК: (х - 18)/(-10) = (у - 18)/(-17,5),
-17,5х + 18*17,5 = -10у + 175,
7х - 4у - 54 = 0 общее,
у = (7/4)х - (54/4) или у = (7/4)х - (27/2) с угловым коэффициентом.
Длина СК равна √((-10)² + (-17,5)²) = √(100 + 306,25) = √406,25 ≈ 20,1556.
2) загальні рівняння прямих ABі AC , та кутові коефіцієнти цих прямих;
Точки A(14;−4), B(2;5).
Находим вектор АВ = (2-14; 5-(-4)) = (-12; 9).
Составляем каноническое уравнение АВ.
АВ: (х - 14)/(-12) = (у + 4)/9. Приводим к общему знаменателю.
9х - 126 = -12у - 48 и получаем уравнение общего вида:
9х + 12у - 78 = 0 или, сократив на 3,
АВ: 3х + 4у - 26 = 0.
Угловой коэффициент к = (-3/4).
Точки A(14;−4), C(18;18).
Находим вектор АС = (18-14; 18-(-4)) = (4; 22).
Составляем каноническое уравнение АС.
АС: (х - 14)/4 = (у + 4)/22. Приводим к общему знаменателю.
22х - 14*22 = 4у + 16 и получаем уравнение общего вида:
22х - 4у - 292 = 0 или, сократив на 2,
АС: 11х - 2у - 196 = 0.
3) рівняння прямої AB у відрізках на осях;
Получили общее уравнение прямой АВ: 3х + 4у - 26 = 0.
Перенесём свободный член направо и разделим обе части равенства на него.
(3/26)х + (4/26)у = 1.
Здесь (3/26) и (4/26) и есть отрезки, отсекаемые прямой на осях.
4) внутрішній кут A;
Найден вектор АВ = (-12; 9),
модуль равен √((-12)² + 9²) = √(144+81) = √225 = 15.
Найден вектор АС = (4; 22),
модуль равен √(4² + 22²) = √(16+484) = √500 = 10√5 ≈ 22,36068.
cos A = (-12*4 + 9*22)/(15*10√5) = 150/335,4102 = 0,447214.
A = arccos 0,447214 = 1,107149 радиан или 63,43495 градуса.
5) загальне рівняння висоти CD та її довжину;
Уравнение высоты CD как перпендикуляра к АВ с уравнением 3х + 4у - 26 = 0 имеет в уравнении общего вида коэффициент В и -А.
CD: 4х - 3у + C = 0. Для определения С подставим координаты точка С:
4*18 - 3*18 + C = 0, отсюда С = 54 - 72 = -18.
Уравнение CD: 4х - 3у - 18 = 0.
Длину CD найдём по разности координат точек C и D.
Точку D находим как точку пересечения прямых AB и CD.
АВ: 3х + 4у - 26 = 0|x(3) = 9x + 12y - 78 = 0
CD: 4х - 3у - 18 = 0|x(4) = 16x - 12y - 72 = 0
25x - 150 = 0.
x = 150/25 = 6, y = (4*6 - 18)/3 = 6/3 = 2.
Точка D(6; 2).
Вектор CD = (6-18; 2-18) = (-12; -16).
Длина CD = √((-12)² + (-16)²) = √(144+256) = √400 = 20.
6) рівняння прямої, що проходить через точку B паралельно прямій AC
Точка B(2;5), вектор АС: (4; 22).
Для прямой, параллельной АС, вектор АС сохраняется.
Уравнение ВК: (х - 2)/4 = (у - 5)/22.
раскладываешь e^(5x+6y) как e^5x+e^6y, потом y' раскладываешь как dy/dx, игрики в одну сторону, иксы в другую и интегрируем