В скобке правой части сумма арифметической прогрессии с разностью, равной 1 и первым членом 1, ее сумма равна (1+n)*n/2, поскольку скобка справа в квадрате, то (1 + 2 + ... + n)²= ((1+n)*n/2)²=
(1+n)²*n²/4, значит, нужно доказать, что 1³ + 2³ + ... + n³ = (1+n)²*n²/4,
1. Берем n=1 /база/, проверяем справедливость равенства.1³=2²*1²/4=1
2. Предполагаем, что для n=к равенство выполняется.
т.е. 1³ + 2³ + ... + к³ = (1+к)²*к²/4
3. Докажем, что для n= к+1 равенство выполняется. т.е., что
1³ + 2³ + ... + (к+1)³ = (1+к)²*(2+к)²/4
(1³ + 2³ + ... к³)+ (к+1)³ =(1+к)²*к²/4+ (к+1)³=(к+1)²*(к²+4к+4)/4=(1+к)²*(2+к)²/4
Доказано.
4.
160 : 100 = 1, 60 (рублей) - 1 %
1, 60 × 25 = 40 (рублей) - скидка
160 × 3 = 480 (рублей) - 3 набора без скидки
40 × 3 = 120 (рублей) скидка трёх наборов
480 - 120 = 360 (рублей) - 3 набора со скидкой
500 - 360 = 140 (рублей) - сдача
5.
300 : 100 = 3 (рубля) - 1%
3 × 60 = 180 (рублей) - скидка на вторую футболку
300 - 180 = 120 (рублей) - вторая футболка
300 + 120 = 420 (рублей) - две футболки
6.
900 - 774 = 126 (учащихся) - разница
900 : 100 = 9 (учащихся) - 1%
126 : 9 = 14 (%) - уменьшилось
7.
1000 : 100 = 10 (рублей) - 1%
10 × 15 = 150 (рублей) - скидка в первый раз
10 × 40 = 400 (рублей) - скидка во второй раз
150 + 400 = 550 (рублей) - общая скидка
1000 - 550 = 450 (рублей) чайник после снижения цен