Question

Дифференциальные уравнения

1.Найти общее решение уравнения.

sin(x)sin(y)dx+cos(x)cos(y)dy=0

2.Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием.

yy′=√(1+y^2), y(0)=√3.

Answer 1

1. Найти общее решение уравнения sin(x)sin(y)dx+cos(x)cos(y)dy=0:

Для начала распишем уравнение:
sin(x)sin(y)dx + cos(x)cos(y)dy = 0

Попробуем привести уравнение к более удобному виду. Заметим, что данное уравнение является уравнением разделяющихся переменных. Для этого разделим обе части уравнения на sin(x)cos(y):

sin(y)dx + cos(x)dy = 0

Теперь проинтегрируем обе части уравнения отдельно по переменным:

∫sin(y)dx + ∫cos(x)dy = ∫0dx + ∫0dy

xsin(y) + cosy = C

Где C - произвольная постоянная.

2. Найти решение дифференциального уравнения yy′=√(1+y^2), y(0)=√3:

yy′ = √(1+y^2)

Для решения данного уравнения воспользуемся методом разделяющих переменных. Разделим обе части уравнения:

dy/√(1+y^2) = dx/y

Интегрируем обе части уравнения отдельно:

∫dy/√(1+y^2) = ∫dx/y

Для левой части уравнения можно воспользоваться заменой переменной. Пусть z = 1+y^2:

dz/dy = 2y
dy = dz/2y

Подставляем замену переменной в уравнение:

∫dz/2y√z = ∫dx/y

1/2∫dz/√z = ∫dx/y

Проведем интегрирование:

(1/2) * 2 * √z = ln|y| + C1

√z = ln|y| + C1

z = (ln|y| + C1)^2

Возвращаемся к исходной переменной:

1+y^2 = (ln|y| + C1)^2

y^2 + 1 = (ln|y| + C1)^2

Из начального условия y(0) = √3, получаем:

3 + 1 = (ln|√3| + C1)^2

4 = (ln3 + C1)^2

Из этого уравнения можно получить два возможных значения для C1:

ln3 + C1 = ±2

C1 = -ln3 ± 2

Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид:

y^2 + 1 = (ln|y| - ln3 ± 2)^2