Для начала рассмотрим тождество тригонометрии: sin^2x + cos^2x = 1. Можно заметить, что уравнение в задаче похоже на это тождество, за исключением дополнительного множителя 16 перед cos^2x. Чтобы избавиться от него, разделим всё уравнение на 16:
(sin^2x + cos^2x)/16 + cos^2x/16 = 4/16.
Упрощая это выражение, получим:
1/16 + cos^2x/16 = 1/4.
Теперь перенесём все слагаемые влево:
1/16 + cos^2x/16 - 1/4 = 0,
1/16 + cos^2x/16 - 4/16 = 0,
(1 + cos^2x - 4)/16 = 0,
(cos^2x - 3)/16 = 0.
Теперь домножим уравнение на 16 ):
cos^2x - 3 = 0.
Теперь добавим 3 к обоим сторонам:
cos^2x = 3.
Возьмём квадратный корень от обеих сторон:
cosx = ± √3.
Теперь рассмотрим интервал [π/4 ; 3π/2] и найдем все значения x, для которых cosx принадлежит этому интервалу.
В данном интервале cosx положителен, поэтому отрицательное значение √3 не подходит. Значит, остаётся только положительное значение:
cosx = √3.
Для нахождения всех корней уравнения, вспомним основные значения тригонометрических функций.
Угол, для которого cosx = √3, находится в первой четверти. В первой четверти cosx положителен. Таким образом, наше значение cosx = √3 можно представить в виде cosx = cos(π/6).
Теперь, чтобы найти все значения x, для которых cosx = √3, используем следующую формулу:
x = 2πn ± π/6,
где n - целое число.
Подставляя n = 0, получим первое решение:
x = 2π(0) ± π/6 = π/6.
Подставляя n = 1, получим второе решение:
x = 2π(1) ± π/6 = 13π/6.
Таким образом, все корни уравнения sin^2x + 16cos^2x = 4, принадлежащие отрезку [π/4 ; 3π/2], равны π/6 и 13π/6.
Последнее, что осталось сделать, - это подтвердить, что найденные значения действительно являются корнями уравнения.
Подставим первое значение, x = π/6:
sin^2(π/6) + 16cos^2(π/6) = 4,
(1/2)^2 + 16(√3/2)^2 = 4,
1/4 + 16(3/4) = 4,
1/4 + 48/4 = 4,
49/4 = 4,
4 = 4 (верно).
Теперь подставим второе значение, x = 13π/6:
sin^2(13π/6) + 16cos^2(13π/6) = 4,
(1/2)^2 + 16(-√3/2)^2 = 4,
1/4 + 16(3/4) = 4,
1/4 + 48/4 = 4,
49/4 = 4,
4 = 4 (верно).
Таким образом, корни уравнения sin^2x + 16cos^2x = 4, принадлежащие отрезку [π/4 ; 3π/2], равны π/6 и 13π/6.
Для начала рассмотрим тождество тригонометрии: sin^2x + cos^2x = 1. Можно заметить, что уравнение в задаче похоже на это тождество, за исключением дополнительного множителя 16 перед cos^2x. Чтобы избавиться от него, разделим всё уравнение на 16:
(sin^2x + cos^2x)/16 + cos^2x/16 = 4/16.
Упрощая это выражение, получим:
1/16 + cos^2x/16 = 1/4.
Теперь перенесём все слагаемые влево:
1/16 + cos^2x/16 - 1/4 = 0,
1/16 + cos^2x/16 - 4/16 = 0,
(1 + cos^2x - 4)/16 = 0,
(cos^2x - 3)/16 = 0.
Теперь домножим уравнение на 16 ):
cos^2x - 3 = 0.
Теперь добавим 3 к обоим сторонам:
cos^2x = 3.
Возьмём квадратный корень от обеих сторон:
cosx = ± √3.
Теперь рассмотрим интервал [π/4 ; 3π/2] и найдем все значения x, для которых cosx принадлежит этому интервалу.
В данном интервале cosx положителен, поэтому отрицательное значение √3 не подходит. Значит, остаётся только положительное значение:
cosx = √3.
Для нахождения всех корней уравнения, вспомним основные значения тригонометрических функций.
Угол, для которого cosx = √3, находится в первой четверти. В первой четверти cosx положителен. Таким образом, наше значение cosx = √3 можно представить в виде cosx = cos(π/6).
Теперь, чтобы найти все значения x, для которых cosx = √3, используем следующую формулу:
x = 2πn ± π/6,
где n - целое число.
Подставляя n = 0, получим первое решение:
x = 2π(0) ± π/6 = π/6.
Подставляя n = 1, получим второе решение:
x = 2π(1) ± π/6 = 13π/6.
Таким образом, все корни уравнения sin^2x + 16cos^2x = 4, принадлежащие отрезку [π/4 ; 3π/2], равны π/6 и 13π/6.
Последнее, что осталось сделать, - это подтвердить, что найденные значения действительно являются корнями уравнения.
Подставим первое значение, x = π/6:
sin^2(π/6) + 16cos^2(π/6) = 4,
(1/2)^2 + 16(√3/2)^2 = 4,
1/4 + 16(3/4) = 4,
1/4 + 48/4 = 4,
49/4 = 4,
4 = 4 (верно).
Теперь подставим второе значение, x = 13π/6:
sin^2(13π/6) + 16cos^2(13π/6) = 4,
(1/2)^2 + 16(-√3/2)^2 = 4,
1/4 + 16(3/4) = 4,
1/4 + 48/4 = 4,
49/4 = 4,
4 = 4 (верно).
Таким образом, корни уравнения sin^2x + 16cos^2x = 4, принадлежащие отрезку [π/4 ; 3π/2], равны π/6 и 13π/6.