Question

Материальная точка движется по закону x(t) = 1/4 * t^4 + t^2 найти скорость и ускорение в момент времени t = 5 c. (перемещение измеряется в метрах)

Answer 1

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, нам дан закон движения материальной точки: x(t) = 1/4 * t^4 + t^2. Мы должны найти скорость и ускорение в момент времени t = 5.

1. Найдем скорость:

Скорость - это производная по времени от закона движения.
Чтобы найти скорость, возьмем производную от x(t) по t.

x'(t) = d/dt (1/4 * t^4 + t^2)
= 1/4 * d/dt (t^4) + d/dt (t^2)

Для вычисления производной, воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции.
Если y = t^n, то y' = n * t^(n-1).

Таким образом,

x'(t) = 1/4 * 4 * t^(4-1) + 2 * t^(2-1)
= t^3 + 2t

Теперь мы получили выражение для скорости: v(t) = t^3 + 2t.

2. Найдем ускорение:

Ускорение - это производная скорости по времени.
Для этого возьмем производную от v(t) по t.

v'(t) = d/dt (t^3 + 2t)
= d/dt (t^3) + d/dt (2t)

Применим правило дифференцирования степенной функции еще раз:

v'(t) = 3 * t^(3-1) + 2 * 1
= 3t^2 + 2

Теперь мы получили выражение для ускорения: a(t) = 3t^2 + 2.

3. Найдем значения скорости и ускорения в момент времени t = 5 c:

Для этого подставим t = 5 в выражения для скорости и ускорения.

v(5) = (5)^3 + 2(5)
= 125 + 10
= 135 м/c

a(5) = 3(5)^2 + 2
= 3(25) + 2
= 75 + 2
= 77 м/c^2

Итак, скорость в момент времени t = 5 c равна 135 м/c, а ускорение равно 77 м/c^2.

Надеюсь, эта подробная и обстоятельная информация помогла вам понять решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!