Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить двойной интеграл от функции x^2y по заданному прямоугольнику.
Для начала, давайте разобьем данный прямоугольник на интегральную сетку. Зафиксируем шаги сетки по осям x и y.
Поскольку значения x меняются от 2 до 4, и шаг сетки не указан, мы можем предположить, что шаг сетки равен 1, так как 4 - 2 = 2. Таким образом, у нас будет две ячейки сетки по оси x (2 и 3) и значения y будут меняться от 1 до 2.
Теперь, мы можем записать интеграл в виде суммы двух интегралов:
∫(∫(x^2y)dx)dy,
где первый интеграл вычисляется по переменной x, а внешний интеграл вычисляется по переменной y.
Для вычисления первого интеграла, ∫(x^2y)dx, можно считать y постоянным и применить формулу для интегрирования по x от x_min до x_max (где x_min = 2, x_max = 3):
∫(x^2y)dx = y*(∫(x^2)dx) = y*(x^3/3),
где константу интегрирования можно опустить, так как это прямоугольник, а не неопределенный интеграл.
Теперь подставим выражение ∫(x^2y)dx = y*(x^3/3) во внешний интеграл:
∫(∫(x^2y)dx)dy = ∫(y*(x^3/3))dy.
Для вычисления внешнего интеграла, ∫(y*(x^3/3))dy, можно считать x постоянным и применить формулу для интегрирования по y от y_min до y_max (где y_min = 1, y_max = 2):
Для начала, давайте разобьем данный прямоугольник на интегральную сетку. Зафиксируем шаги сетки по осям x и y.
Поскольку значения x меняются от 2 до 4, и шаг сетки не указан, мы можем предположить, что шаг сетки равен 1, так как 4 - 2 = 2. Таким образом, у нас будет две ячейки сетки по оси x (2 и 3) и значения y будут меняться от 1 до 2.
Теперь, мы можем записать интеграл в виде суммы двух интегралов:
∫(∫(x^2y)dx)dy,
где первый интеграл вычисляется по переменной x, а внешний интеграл вычисляется по переменной y.
Для вычисления первого интеграла, ∫(x^2y)dx, можно считать y постоянным и применить формулу для интегрирования по x от x_min до x_max (где x_min = 2, x_max = 3):
∫(x^2y)dx = y*(∫(x^2)dx) = y*(x^3/3),
где константу интегрирования можно опустить, так как это прямоугольник, а не неопределенный интеграл.
Теперь подставим выражение ∫(x^2y)dx = y*(x^3/3) во внешний интеграл:
∫(∫(x^2y)dx)dy = ∫(y*(x^3/3))dy.
Для вычисления внешнего интеграла, ∫(y*(x^3/3))dy, можно считать x постоянным и применить формулу для интегрирования по y от y_min до y_max (где y_min = 1, y_max = 2):
∫(y*(x^3/3))dy = (x^3/3)*(∫y dy) = (x^3/3)*(y^2/2).
Теперь подставим выражение (x^3/3)*(y^2/2) во внешний интеграл:
∫(∫(x^2y)dx)dy = ∫((x^3/3)*(y^2/2))dy.
Вычислим этот интеграл от y_min до y_max:
∫((x^3/3)*(y^2/2))dy = (x^3/3)*(1/2)*(y^3/3) ограничивая y от 1 до 2.
Теперь подставим значения верхнего и нижнего пределов интегрирования и получим окончательное выражение:
(x^3/3)*(1/2)*(y^3/3) от 1 до 2 = (x^3/3)*(1/2)*((2^3/3) - (1^3/3)) = (x^3/3)*(1/2)*(8/3 - 1/3) = (x^3/3)*(1/2)*(7/3) = (7/18)*(x^3).
Теперь, нужно проинтегрировать последнее выражение по переменной x от x_min до x_max (где x_min = 2, x_max = 3):
(7/18)*(x^3) от 2 до 3 = (7/18)*((3^3) - (2^3)) = (7/18)*(27 - 8) = (7/18)*(19) = 133/18.
Таким образом, двойной интеграл от функции x^2y по заданному прямоугольнику равен 133/18.
Ответ: нет варианта ответа среди предложенных вариантов ответа.