Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) — искомый закон движения. Известно, что s'(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что s(t)=gt22s(t)=gt22. В самом деле
Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили s(t)=gt22s(t)=gt22. На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида s(t)=gt22+Cs(t)=gt22+C, где C — произвольная константа, может служить законом движения, поскольку (gt22+C)′=gt(gt22+C)′=gt
Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s0, то из равенства s(t) = (gt2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s0. Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt2)/2 + s0.
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х2) и извлечение квадратного корня ( √xx ), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, — интегрированием.
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у' = f'(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у' = f'(x), первичный образ, или первообразная.
Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для x∈Xx∈X выполняется равенство F'(x) = f(x)
На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).
Приведем примеры.
1) Функция у = х2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x2)' = 2х
2) Функция у = х3 является первообразной для функции у = 3х2, поскольку для любого х справедливо равенство (x3)' = 3х2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))' = cos(x)
При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.
Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.
Я старалась очень долго:)
Пошаговое объяснение:
Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) — искомый закон движения. Известно, что s'(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что s(t)=gt22s(t)=gt22. В самом деле
s′(t)=(gt22)′=g2(t2)′=g2⋅2t=gts′(t)=(gt22)′=g2(t2)′=g2⋅2t=gt
ответ: s(t)=gt22s(t)=gt22
Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили s(t)=gt22s(t)=gt22. На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида s(t)=gt22+Cs(t)=gt22+C, где C — произвольная константа, может служить законом движения, поскольку (gt22+C)′=gt(gt22+C)′=gt
Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s0, то из равенства s(t) = (gt2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s0. Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt2)/2 + s0.
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х2) и извлечение квадратного корня ( √xx ), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, — интегрированием.
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у' = f'(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у' = f'(x), первичный образ, или первообразная.
Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для x∈Xx∈X выполняется равенство F'(x) = f(x)
На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).
Приведем примеры.
1) Функция у = х2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x2)' = 2х
2) Функция у = х3 является первообразной для функции у = 3х2, поскольку для любого х справедливо равенство (x3)' = 3х2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))' = cos(x)
При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.
Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.