Составить уравнение множества точек, для каждой из которых расстояние до точки М (0;5) равно расстоянию до оси абсцисс. Выполнить чертёж. Привести уравнение к каноническому виду.
1. Построение чертежа:
- Нам дана точка M с координатами (0, 5). Вместе с осью абсцисс (х-ось) она образует прямоугольный треугольник.
- Чтобы найти точки, для которых расстояние до точки М равно расстоянию до оси абсцисс, можно провести перпендикуляр к оси абсцисс из точки М. Этот перпендикуляр будет делить ось абсцисс на две части.
- Точки, лежащие на перпендикуляре, будут иметь одинаковое расстояние до точки М и до оси абсцисс.
- Нарисуем перпендикуляр из точки М к оси абсцисс и проведем линию, соединяющую точку М и точку пересечения перпендикуляра с осью абсцисс.
- Теперь у нас есть основание и высота прямоугольного треугольника, образованного точкой M и перпендикуляром к оси абсцисс. Построим его.
2. Составление уравнения:
- Обозначим точку пересечения перпендикуляра с осью абсцисс буквой A.
- Найдем координату точки A. Так как точка A лежит на оси абсцисс, у нее координата y равна 0, а координата x будет равна расстоянию от A до точки M.
- Расстояние от точки A до точки M равно расстоянию от точки A до оси абсцисс. Так как A лежит на перпендикуляре, этот отрезок равен расстоянию от A до оси абсцисс.
- Пусть расстояние от A до оси абсцисс будет d.
- Тогда координата A будет (d, 0).
- Также, расстояние от точки M до оси абсцисс равно значению координаты y точки M, то есть 5.
- Итак, у нас есть две точки нашего множества: M(0, 5) и A(d, 0).
- Чтобы записать уравнение, которое будет описывать все точки нашего множества, нам необходимо выразить расстояние от каждой точки до М и до оси абсцисс.
- Расстояние от точки А до М будет равно расстоянию между их координатами. Используя теорему Пифагора, получим: √((d-0)^2 + (0-5)^2) = √(d^2 + 25).
- Также, расстояние от точки А до оси абсцисс будет равно значению координаты x точки А, то есть d.
- Запишем уравнение: √(d^2 + 25) = d.
3. Приведение уравнения к каноническому виду:
- Возведем оба выражения уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: (d^2 + 25) = d^2.
- Раскрываем скобки: d^2 + 25 = d^2.
- Сокращаем одинаковые слагаемые с обеих сторон уравнения: 25 = 0.
4. Анализ и объяснение результата:
- После приведения уравнения к каноническому виду, мы получили уравнение без переменных, которое никогда не выполняется (25 не равно 0).
- Значит, исходное уравнение √(d^2 + 25) = d не имеет решений.
- Таким образом, множество точек, для каждой из которых расстояние до точки М (0; 5) равно расстоянию до оси абсцисс, пусто.
Запомните, что важно прояснять каждый шаг в решении задачи и объяснять его значение. Это помогает понять основные концепции и убедиться, что школьник понял решение задачи.
1. Построение чертежа:
- Нам дана точка M с координатами (0, 5). Вместе с осью абсцисс (х-ось) она образует прямоугольный треугольник.
- Чтобы найти точки, для которых расстояние до точки М равно расстоянию до оси абсцисс, можно провести перпендикуляр к оси абсцисс из точки М. Этот перпендикуляр будет делить ось абсцисс на две части.
- Точки, лежащие на перпендикуляре, будут иметь одинаковое расстояние до точки М и до оси абсцисс.
- Нарисуем перпендикуляр из точки М к оси абсцисс и проведем линию, соединяющую точку М и точку пересечения перпендикуляра с осью абсцисс.
- Теперь у нас есть основание и высота прямоугольного треугольника, образованного точкой M и перпендикуляром к оси абсцисс. Построим его.
2. Составление уравнения:
- Обозначим точку пересечения перпендикуляра с осью абсцисс буквой A.
- Найдем координату точки A. Так как точка A лежит на оси абсцисс, у нее координата y равна 0, а координата x будет равна расстоянию от A до точки M.
- Расстояние от точки A до точки M равно расстоянию от точки A до оси абсцисс. Так как A лежит на перпендикуляре, этот отрезок равен расстоянию от A до оси абсцисс.
- Пусть расстояние от A до оси абсцисс будет d.
- Тогда координата A будет (d, 0).
- Также, расстояние от точки M до оси абсцисс равно значению координаты y точки M, то есть 5.
- Итак, у нас есть две точки нашего множества: M(0, 5) и A(d, 0).
- Чтобы записать уравнение, которое будет описывать все точки нашего множества, нам необходимо выразить расстояние от каждой точки до М и до оси абсцисс.
- Расстояние от точки А до М будет равно расстоянию между их координатами. Используя теорему Пифагора, получим: √((d-0)^2 + (0-5)^2) = √(d^2 + 25).
- Также, расстояние от точки А до оси абсцисс будет равно значению координаты x точки А, то есть d.
- Запишем уравнение: √(d^2 + 25) = d.
3. Приведение уравнения к каноническому виду:
- Возведем оба выражения уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: (d^2 + 25) = d^2.
- Раскрываем скобки: d^2 + 25 = d^2.
- Сокращаем одинаковые слагаемые с обеих сторон уравнения: 25 = 0.
4. Анализ и объяснение результата:
- После приведения уравнения к каноническому виду, мы получили уравнение без переменных, которое никогда не выполняется (25 не равно 0).
- Значит, исходное уравнение √(d^2 + 25) = d не имеет решений.
- Таким образом, множество точек, для каждой из которых расстояние до точки М (0; 5) равно расстоянию до оси абсцисс, пусто.
Запомните, что важно прояснять каждый шаг в решении задачи и объяснять его значение. Это помогает понять основные концепции и убедиться, что школьник понял решение задачи.