Математика: решить Итоговая контрольная за 8 класс!! >

решить Итоговая контрольная за 8 класс!! ">

👇

Открыть все ответы

Ответ:

Wer77

14.02.2023

найти двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией

Вспомним как находятся координаты точки центра масс:

$x_0= \frac{ \int\limits \int\limits{x} dxdy }{S}$

$y_0= \frac{ \int\limits \int\limits {y}dx dy }{S}$

Где S- площадь фигуры

Построим график функции : $y=+/- \sqrt{x^2-x^4}$
(смотри приложение к решению)

Найдем нули функции: y=0 при х=0, х=1, х=-1
Нас интересует только та часть графика где х≥0

Итак, найдем площадь фигуры. где 0≤х≤1

$\int\limits^1_0 dx( \int\limits^{x \sqrt{1-x^2}}_{-x \sqrt{1-x^2}} dy)= \int\limits^1_0 dx(x \sqrt{1-x^2-(-x \sqrt{1-x^2}) })=$

$= \int\limits^1_0 {2x \sqrt{1-x^2}} \, dx =2 \int\limits^1_0 {x \sqrt{1-x^2} } \, dx=$

сделаем замену: 1-x^2=t

-2xdx=dt

xdx=-dt/2

при этом границы интегрирования поменяются местами.

$=2 \int\limits^0_1 {- \frac{1}{2} \sqrt{t} \, dt=- \int\limits^0_1 { \sqrt{t}} \, dt= \int\limits^1_0 { \sqrt{t}} \, dt = \frac{2}{3}t^{3/2}|_0^1= \frac{2}{3}$

Итак площадь фигуры 2/3

Найдем ординату:

$\int\limits \int\limits {x}dxdy= \int\limits^1_0 {x}dx \int\limits^{x \sqrt{1-x^2}}_{-x \sqrt{1-x^2}} dy= \int\limits^1_0 {x(x \sqrt{1-x^2}+x \sqrt{1-x^2}}) \, dx=$

$=2 \int\limits^1_0 {x^2 \sqrt{1-x^2} } \, dx=$

сделаем замену:

x=Sint

dx=Costdt

1-x^2=Cos^2t

Границы интегрирования 0≤t≤π/2

$=2 \int\limits^{ \pi /2}_0 {Sin^2tCost \sqrt{Cos^2t}} \, dt =2 \int\limits^{ \pi /2}_0 {(Sin^2tCos^2t}) \, dt=$

$=2 \int\limits^{ \pi /2}_0 { \frac{1}{4}Sin^22t} \, dt= \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi /2}_0 {Sin^22t} \, dt=$

сделаем еще раз замену:

2t=a

2dt=da

границы интегрирования 0≤a≤π

$= \frac{1}{2} \int\limits^ \pi _0 { \frac{1}{2}Sin^2a} \, da= \frac{1}{4} \int\limits^ \pi _0 { \frac{1-Cos2a}{2}} \, da= \frac{1}{8} \int\limits^ \pi _0 {1-Cos^a} \, da=$

$= \frac{1}{8}( \int\limits^ \pi _0 da- \int\limits^ \pi _0 {Cos2a} \, da=$

и последняя замена: 2a=s; 2da=ds

$= \frac{1}{8} \int\limits^ \pi _0 {da} - \frac{1}{8} \int\limits^{2 \pi} _0 \frac{1}{2} {Cos s} ds= \frac{1}{8}a|_0^{ \pi } - \frac{1}{16}Sin s|_0^{2 \pi }=$

$= \frac{1}{8}( \pi -0)- \frac{1}{16}(Sin {2 \pi }-Sin 0)= \frac{1}{8} \pi$

Таким образом ордината точки:

$x_0= \frac{ \pi }{8}: \frac{2}{3}= \frac{3 \pi }{16}$

Найдем абсциссу, т. е. y₀

$\int\limits \int\limits{y}dxdy= \int\limits^1_0 {dx} \int\limits^{x \sqrt{1-x^2} }_{-x \sqrt{1-x^2}} ydy= \int\limits^1_0 dx \frac{y^2}{2}|_{-x \sqrt{1-x^2} }^{x \sqrt{1-x^2} }=$

$= \frac{1}{2} \int\limits^1_0 {(x^2-x^4)-(x^2-x^4)}\, dx=0$

Таким образом абсцисса точки:

$y_0=0: \frac{2}{3}=0$

центр масс $( \frac{3 \pi }{16};0)$

Найти двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией

Найти двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией

4,7(34 оценок)

Ответ:

Obmorok33

14.02.2023

Подкоренное выражение не должно быть отрицательным.
То есть 3 - 2x - x² ≥ 0.
Находим нули квадратного трехчлена a·x2+b·x+c из левой части квадратного неравенства. то есть, решаем уравнение 3 - 2x - x² = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-2)^2-4*(-1)*3=4-4*(-1)*3=4-(-4)*3=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√16-(-2))/(2*(-1))=(4-(-2))/(2*(-1))=(4+2)/(2*(-1))=6/(2*(-1))=6/(-2)=-6/2=-3;x₂=(-√16-(-2))/(2*(-1))=(-4-(-2))/(2*(-1))=(-4+2)/(2*(-1))=-2/(2*(-1))=-2/(-2)=-(-2/2)=-(-1)=1.
Графически заданное неравенство представляет область, ограниченную параболой ветвями вниз, от полученных точек и выше оси абсцисс.
ответ: -3 ≤ x ≤ 1.
Подробности в приложении.

4,6(11 оценок)

Это интересно:

Здоровье

12.04.2021

Основные способы избавления от язвы во рту...

Питомцы-и-животные

28.06.2021

Играть с попугаем - просто и весело...

Кулинария-и-гостеприимство

15.01.2022

Как жарить креветки: секреты приготовления вкуснейшей закуски...

Кулинария-и-гостеприимство