Question

Для функции у= 4+cosx найдите первообразную, график которой проходит через точку М( π/6; π)
​

Answer 1

Чтобы найти первообразную функции у= 4+cosx, график которой проходит через точку М( π/6; π), мы должны использовать метод интегрирования. Затем мы получим функцию, производная которой равна исходной функции у= 4+cosx, и проверим, что она действительно проходит через точку М( π/6; π).

Шаг 1: Найдём первообразную функции. Напишем функцию в виде y = 4 + cos(x) и проинтегрируем оба слагаемых по отдельности.

Интеграл от 4 dx равен 4x.
Интеграл от cos(x) dx равен sin(x) (как известно, производная функции sin(x) равна cos(x)).
Таким образом, первообразная функции y будет равна F(x) = 4x + sin(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Шаг 2: Подставим значение точки М( π/6; π) в первообразную F(x) и решим уравнение, чтобы найти значение постоянной C.

F(π/6) = 4(π/6) + sin(π/6) + C = (4π)/6 + 1/2 + C = (2π)/3 + 1/2 + C
Мы знаем, что значение F(π/6) равно π, поэтому:

(2π)/3 + 1/2 + C = π
C = -1/2 + π - (2π)/3
C = 3π/6 - 12/6 + 4π/6
C = 7π/6 - 12/6
C = (7π - 12)/6

Шаг 3: Подставим значение постоянной С обратно в первообразную функцию F(x).

F(x) = 4x + sin(x) + (7π - 12)/6

Ответ: Первообразная функции у= 4+cosx, проходящая через точку М( π/6; π), равна F(x) = 4x + sin(x) + (7π - 12)/6.