Дана функция f(x) и уравнение касательной к ней в точке x0 : y – y0 = k(x – x0). найдите неизвестные величины. f(x) = arcctg (x – 2) + ln (3 – x) + 5, y – y0 = k(x – 2) ответ: y0 = ? , k = ?
Для того чтобы решить эту задачу, нам необходимо сперва найти производную функции f(x), а затем использовать ее для поиска значения k. Также нам необходимо знать точку x0, в которой задана касательная.
1. Найдем производную функции f(x):
f'(x) = d/dx[arcctg(x - 2) + ln(3 - x) + 5]
Для этого нам понадобится использовать правила дифференцирования.
f'(x) = -1/(1 + (x - 2)^2) - 1/(3 - x) * (-1) = -1/(1 + (x - 2)^2) + 1/(3 - x)
2. Запишем уравнение касательной к функции f(x) в точке x0:
y - y0 = k(x - x0)
Мы знаем, что точка x0 = 2 (по условию), поэтому можно переписать уравнение следующим образом:
y - y0 = k(x - 2)
3. Теперь мы можем использовать производную функции f(x), чтобы найти значение k.
Заменим x на x0 = 2 в производной функции f'(x):
f'(2) = -1/(1 + (2 - 2)^2) + 1/(3 - 2) = -1 + 1/1 = 0
Мы получаем, что f'(2) = 0.
Это означает, что касательная к функции f(x) в точке x0 = 2 горизонтальна, то есть ее наклон равен нулю. Таким образом, k = 0.
4. Теперь найдем значение y0.
Заменим x на x0 = 2 и k на 0 в уравнении касательной:
y - y0 = 0(x - 2)
y - y0 = 0
Мы видим, что уравнение становится y - y0 = 0. Это означает, что y = y0.
Таким образом, y0 = y.
Ответ: y0 = y, k=0.