Для начала, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данной параболой и осью абсцисс, нам нужно определить, где парабола пересекает ось абсцисс.
Для этого, надо приравнять функцию к нулю и решить уравнение:
0 = -2(x-1)^2 + 8
Далее, распишем это уравнение и приведем его к более удобному виду для решения:
-2(x-1)^2 + 8 = 0
(x-1)^2 = 4
x-1 = ±√4
x-1 = ±2
Теперь найдем два значения x, при которых парабола пересекает ось абсцисс:
x₁ = 1 + 2 = 3
x₂ = 1 - 2 = -1
Теперь, чтобы найти площадь ограниченной фигуры, мы должны найти определенный интеграл от функции по оси x от -1 до 3. Формула для нахождения площади под графиком функции f(x) на заданном интервале x имеет вид:
Площадь = ∫[a;b] f(x) dx
где a и b - границы интервала, в данном случае -1 и 3.
Таким образом, формула выглядит так:
Площадь = ∫[-1;3] f(x) dx
Далее, чтобы интегрировать данную функцию, мы можем использовать метод антидифференцирования. Проинтегрируем функцию f(x) по отношению к x:
∫ f(x) dx = ∫ (-2(x-1)^2 + 8) dx
∫ f(x) dx = ∫ (-2x^2 + 4x - 2 + 8) dx
∫ f(x) dx = ∫ (-2x^2 + 4x + 6) dx
Теперь найдем интеграл для каждого члена отдельно:
Для начала, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данной параболой и осью абсцисс, нам нужно определить, где парабола пересекает ось абсцисс.
Для этого, надо приравнять функцию к нулю и решить уравнение:
0 = -2(x-1)^2 + 8
Далее, распишем это уравнение и приведем его к более удобному виду для решения:
-2(x-1)^2 + 8 = 0
(x-1)^2 = 4
x-1 = ±√4
x-1 = ±2
Теперь найдем два значения x, при которых парабола пересекает ось абсцисс:
x₁ = 1 + 2 = 3
x₂ = 1 - 2 = -1
Теперь, чтобы найти площадь ограниченной фигуры, мы должны найти определенный интеграл от функции по оси x от -1 до 3. Формула для нахождения площади под графиком функции f(x) на заданном интервале x имеет вид:
Площадь = ∫[a;b] f(x) dx
где a и b - границы интервала, в данном случае -1 и 3.
Таким образом, формула выглядит так:
Площадь = ∫[-1;3] f(x) dx
Далее, чтобы интегрировать данную функцию, мы можем использовать метод антидифференцирования. Проинтегрируем функцию f(x) по отношению к x:
∫ f(x) dx = ∫ (-2(x-1)^2 + 8) dx
∫ f(x) dx = ∫ (-2x^2 + 4x - 2 + 8) dx
∫ f(x) dx = ∫ (-2x^2 + 4x + 6) dx
Теперь найдем интеграл для каждого члена отдельно:
∫ (-2x^2 + 4x + 6) dx = -2 ∫ x^2 dx + 4 ∫ x dx + 6 ∫ dx
Проинтегрируем каждое слагаемое:
∫ x^2 dx = (1/3)x^3 + C₁, где C₁ - константа интегрирования
∫ x dx = (1/2)x^2 + C₂, где C₂ - константа интегрирования
∫ dx = x + C₃, где C₃ - константа интегрирования
Теперь, подставим эти значения в интеграл:
∫ (-2x^2 + 4x + 6) dx = -2 * (1/3)x^3 + C₁ + 4 * (1/2)x^2 + C₂ + 6 * x + C₃
Объединим константы в одну и упростим:
∫ (-2x^2 + 4x + 6) dx = (-2/3)x^3 + (2)x^2 + (6)x + C
Теперь, посчитаем значение интеграла для границ интервала:
∫[-1;3] (-2x^2 + 4x + 6) dx = [(-2/3)x^3 + 2x^2 + 6x]₋₁͜³ [(-2/3)x^3 + 2x^2 + 6x]₃
Подставим верхние и нижние пределы в эту формулу:
[(-2/3)*3^3 + 2*3^2 + 6*3] - [(-2/3)*(-1)^3 + 2*(-1)^2 + 6*(-1)]
[(-2/3)*27 + 2*9 + 18] - [(-2/3)*(-1) + 2*1 + 6*(-1)]
[-54/3 + 18 + 18] - [2/3 + 2 - 6]
[-18 + 18 + 18] - [2/3 - 4/3]
[0 + 18] - [-2/3]
18 + 2/3
54/3 + 2/3
56/3
Ответ: площадь фигуры, ограниченной данной параболой и осью абсцисс, равна 56/3 или 18.67 единицы площади.