Question

С автоматической линии, производящей подшипники, отобрано 400 штук, причем 10 оказались бракованными. Найти 90% доверительный интервал для вероятности появления бракованного подшипника.

Answer 1

Хорошо, давайте посчитаем 90% доверительный интервал для вероятности появления бракованного подшипника.

Для начала, нам нужно определить формулу для доверительного интервала. Для биномиального распределения (где у нас два возможных исхода - бракованный или небракованный подшипник) мы используем формулу для доверительного интервала Уилсона. Формула имеет следующий вид:

CI = [p_hat - Z * sqrt((p_hat * (1-p_hat))/n), p_hat + Z * sqrt((p_hat * (1-p_hat))/n)]

Где CI - доверительный интервал, p_hat - выборочная пропорция (число бракованных подшипников, поделенное на общее число отобранных), Z - Z-оценка для заданного уровня доверия (90% соответствует Z = 1.645 для двустороннего интервала), sqrt - квадратный корень, n - общее число отобранных подшипников.

Давайте перейдем к пошаговому решению:

1. Определим выборочную пропорцию (p_hat):
p_hat = 10 / 400 = 0.025

2. Найдем Z-оценку для 90% доверительного интервала (Z):
Z = 1.645

3. Определим корень из выражения (p_hat * (1-p_hat))/n:
sqrt((0.025 * (1-0.025))/400) ≈ 0.0112

4. Вычислим нижнюю границу доверительного интервала (нижняя граница):
p_hat - Z * sqrt((p_hat * (1-p_hat))/n) ≈ 0.025 - 1.645 * 0.0112 ≈ 0.0066

5. Вычислим верхнюю границу доверительного интервала (верхняя граница):
p_hat + Z * sqrt((p_hat * (1-p_hat))/n) ≈ 0.025 + 1.645 * 0.0112 ≈ 0.0434

Таким образом, 90% доверительный интервал для вероятности появления бракованного подшипника составляет примерно от 0.0066 до 0.0434.

Обратите внимание, что доверительный интервал является статистической оценкой и не гарантирует точность во всех случаях. Он предоставляет нам интервал, в котором, с высокой вероятностью (в данном случае 90%), находится истинная вероятность появления бракованного подшипника на основе нашей выборки.