Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть F'(x)=f(x), тогда
\int f(x)\,dx= \int F'(x)\,dx= \int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C.
Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство d\bigl(F(x)\bigr)=F'(x)\,dx= f(x)\,dx остается справедливым и в случае, когда {x} — промежуточный аргумент, т.е. x=\varphi(t). Это значит, что формула \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C} верна и при x=\varphi(t). Таким образом,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,d\bigl(\varphi(t)\bigr)= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C, или \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C.
Итак, если F(t) является первообразной для f(x) на промежутке {X}, а x=\varphi(t) — дифференцируемая на промежутке {T} функция, значения которой принадлежат {X}, то F\bigl(\varphi(t)\bigr) — первообразная для f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t),~t\in T, и, следовательно,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= \int f(x)\,dx\,.
Эта формула позволяет свести вычисление интеграла \textstyle{\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt} к вычислению интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx}. При этом мы подставляем вместо \varphi(t) переменную {x}, а вместо \varphi'(t)\,dt дифференциал этой переменной, т. е. dx. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx} надо снова заменить {x} на \varphi(t).
Пример 1. Вычислим \int\cos2t\,dt.
Решение. Введем новую переменную {x}, положив 2t=x. Тогда 2\,dt=dx,~dt=\frac{1}{2}\,dx и, следовательно,
\int\cos2t\,dt= \int\cos{x}\,\frac{1}{2}\,dx= \frac{1}{2}\int\cos{x}\,dx= \frac{1}{2}\sin{x}+C= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Замечание. Вычисление короче записывают так:
\int\cos2t\,dt= \frac{1}{2}\int\cos2t\,d(2t)= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Пошаговое объяснение:
№1
1) 2(а+2)-10=6(3-а)
2а+4-10=18-6а
2а+6а=18-4+10
8а=24
а=3
2) 3(2у-1)+6(3у-4)=83+5(у-3)
6у-3+18у-24=83+5у-15
Сначала левая часть(это в уме).
6у-18у-3+24=-12у-27
Потом правая часть (тоже в уме).
-5у-15-83=-5у-68
Итого: ПИСЬМЕННО!
-12у-27=-5у-68
-12у+5у=-68+27
-7у=-41
у=5
№2
1) 1кг300г-890г
1кг300г=1300г
1300г-890г=410г
ОТВЕТ: 410г.
2) 402м:6м
402:6=67м
ОТВЕТ: 67м
3) 63м 89дм*147
63м 89дм=7190дм
1056930см=105693дм
ОТВЕТ: 105693дм
4) 17ч 48мин+12ч 36мин
17ч 48мин=1068мин
12ч 36мин=756мин
1068+756=1824мин
63*357+357*37=357*100
Пошаговое объяснение:
1) 357*100=35700
...*357+357*37=35700
2) 357*37=13209
...*357+13209=35700
3) х*357+13209=35700
х*357=35700-13209
х*357=22491
х=22491÷357
х=63
63*357+13209=35700
35700=35700