Question

Найти вектор, в направлении которого функция u=2x−y2 в точке (1,-1,2) возрастает с наибольшей скоростью. (с пояснением

Answer 1

Для нахождения вектора, в направлении которого функция возрастает с наибольшей скоростью, нам понадобится вектор градиента функции u в данной точке.

Функция градиента обозначается как nabla у (∇u) и определяется следующим образом:

∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z),

где ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z - это частные производные функции u по переменным x, y, z соответственно.

Для данной функции u=2x−y², найдем частные производные:

∂u/∂x = 2,
∂u/∂y = -2y,
∂u/∂z = 0.

Теперь найдем значения частных производных в точке (1,-1,2):

∂u/∂x = 2,
∂u/∂y = -2*(-1) = 2,
∂u/∂z = 0.

Итак, градиент функции ∇u в данной точке будет равен (∇u) = (2, 2, 0).

Теперь, чтобы найти вектор, в направлении которого функция возрастает с наибольшей скоростью, нужно нормализовать вектор ∇u, то есть преобразовать его в единичный вектор.

Для нормализации вектора мы делим каждую его компоненту на длину вектора. Длину вектора можно найти с помощью формулы:

длина = √(x² + y² + z²),

где x, y, z - компоненты вектора ∇u.

В нашем случае, длина вектора ∇u будет равна √(2² + 2² + 0²) = √8 = 2√2.

Теперь нормализуем вектор (∇u):

нормализованный ∇u = (∇u)/длина = (2/2√2, 2/2√2, 0) = (√2/√2, √2/√2, 0) = (1, 1, 0).

Итак, вектор (1, 1, 0) будет вектором, в направлении которого функция u возрастает с наибольшей скоростью в точке (1, -1, 2).