Question

РЕШИТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЗАДАННЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ С ОПЕРАТОРОВ

Answer 1

$x'''-x''=\sin t$

Выполним преобразования Лапласа:

$x(t)\rightarrow X(p)$

$x'(t)\rightarrow pX(p)-x(0)=pX(p)$

$x''(t)\rightarrow p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p)$

$x'''(t)\rightarrow p^3X(p)-p^2x(0)-px'(0)-x''(0)=p^3X(p)$

$\sin t\rightarrow\dfrac{1}{p^2+1}$

Получим уравнение:

$p^3X(p)-p^2X(p)=\dfrac{1}{p^2+1}$

$p^2(p-1)X(p)=\dfrac{1}{p^2+1}$

$X(p)=\dfrac{1}{p^2(p-1)(p^2+1)}$

Разложим дробь, стоящую в правой части на составляющие:

$\dfrac{1}{p^2(p-1)(p^2+1)}=\dfrac{Ap+B}{p^2} +\dfrac{C}{p-1}+\dfrac{Dp+E}{p^2+1}$

$1=(Ap+B)(p-1)(p^2+1) +Cp^2(p^2+1)+(Dp+E)p^2(p-1)$

$1=(Ap+B)(p^3-p^2+p-1) +Cp^2(p^2+1)+(Dp+E)(p^3-p^2)$

$1=\\=Ap^4-Ap^3+Ap^2-Ap+Bp^3-Bp^2+Bp-B+Cp^4+Cp^2+Dp^4-Dp^3+Ep^3-Ep^2$

$1=(A+C+D)p^4+(-A+B-D+E)p^3+(A-B+C-E)p^2+(-A+B)p-B$

Условие равенства двух многочленов:

$\begin{cases} A+C+D=0\\-A+B-D+E=0\\A-B+C-E=0\\-A+B=0\\-B=1\end{cases}$

$\Rightarrow\boxed{B=-1}$

$\begin{cases} A+C+D=0\\-A-1-D+E=0\\A+1+C-E=0\\-A-1=0\end{cases}$

$\Rightarrow\boxed{A=-1}$

$\begin{cases} -1+C+D=0\\1-1-D+E=0\\-1+1+C-E=0\end{cases}$

$\begin{cases} C+D=1\\D=E\\C=E\end{cases}$

Заметим, что $C=D=E$. Подставляем в первое уравнение два других:

$E+E=1$

$2E=1\Rightarrow \boxed{E=\dfrac{1}{2} }$

$C=E\Rightarrow \boxed{C=\dfrac{1}{2} }$

$D=E\Rightarrow \boxed{D=\dfrac{1}{2} }$

Итак, дробь раскладывается на составляющие:

$X(P)=\dfrac{-p-1}{p^2} +\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{p-1}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{p+1}{p^2+1}$

$X(P)=-\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{p^2} +\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{p-1}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{p}{p^2+1}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{p^2+1}$

Обратные преобразования Лапласа:

$X(p)\rightarrow x(t)$

$\dfrac{1}{p}\rightarrow1$

$\dfrac{1}{p^2}\rightarrow t$

$\dfrac{1}{p-1}\rightarrow e^t$

$\dfrac{p}{p^2+1}\rightarrow\cos t$

$\dfrac{1}{p^2+1}\rightarrow\sin t$

Получим искомую функцию:

$x(t)=-1-t+\dfrac{1}{2}e^t+\dfrac{1}{2}\cos t+\dfrac{1}{2}\sin t$