Question

РЕШИТЕ СЛЕДУЮЩУЮ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ ЗАДАННЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ С ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА

Answer 1

$\begin{cases} x'=x+4y\\ y'=2x-y+9 \end{cases}$

Преобразования Лапласа:

$x'(t)\rightarrow pX(p)-x(0)=pX(p)-1$

$y'(t)\rightarrow pY(p)-y(0)=pY(p)$

$9\rightarrow\dfrac{9}{p}$

Получаем систему, для краткости записав $X=X(p),\ Y=Y(p)$:

$\begin{cases} pX-1=X+4Y\\ pY=2X-Y+\dfrac{9}{p} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим Y:

$pY+Y=2X+\dfrac{9}{p}$

$(p+1)Y=2X+\dfrac{9}{p}$

$Y=\dfrac{2X+\dfrac{9}{p}}{p+1}=\dfrac{2pX+9}{p(p+1)}$

Подставим в первое уравнение и выразим Х:

$pX-1=X+4\cdot\dfrac{2pX+9}{p(p+1)}$

$pX-X=1+\dfrac{8pX+36}{p(p+1)}$

$pX-X=1+\dfrac{8pX}{p(p+1)}+\dfrac{36}{p(p+1)}$

$\left(p-1-\dfrac{8p}{p(p+1)}\right)X=1+\dfrac{36}{p(p+1)}$

$\left(p(p+1)(p-1)-8p\right)X=p(p+1)+36$

$\left(p(p^2-1)-8p\right)X=p^2+p+36$

$\left(p^3-p-8p\right)X=p^2+p+36$

$X=\dfrac{p^2+p+36}{p^3-9p}$

Выражаем Y:

$Y=\dfrac{2p\cdot\dfrac{p^2+p+36}{p^3-9p}+9}{p(p+1)}$

$Y=\dfrac{2p(p^2+p+36)+9(p^3-9p)}{p(p+1)(p^3-9p)}$

$Y=\dfrac{2(p^2+p+36)+9(p^2-9)}{(p+1)(p^3-9p)}$

$Y=\dfrac{2p^2+2p+72+9p^2-81}{(p+1)(p^3-9p)}$

$Y=\dfrac{11p^2+2p-9}{(p+1)(p^3-9p)}$

$Y=\dfrac{(p+1)(11p-9)}{(p+1)(p^3-9p)}$

$Y=\dfrac{11p-9}{p^3-9p}$

Разложим дроби, соответствующие Х и Y, на составляющие:

$\dfrac{p^2+p+36}{p^3-9p}=\dfrac{A}{p}+ \dfrac{B}{p-3}+\dfrac{C}{p+3}=\\$

$=\dfrac{A(p-3)(p+3)+Bp(p+3)+Cp(p-3)}{p^3-9p}=$

$=\dfrac{(A+B+C)p^2+3(B-C)p-9A}{p^3-9p}$

Получаем условие равенства:

$\begin{cases} A+B+C=1 \\ 3(B-C)=1 \\ -9A=36 \end{cases}$

Из третьего уравнения:

$A=-4$

Остается два уравнения:

$\begin{cases} -4+B+C=1 \\ 3B-3C=1 \end{cases}$

$\begin{cases} B+C=5 \\ 3B-3C=1 \end{cases}$

$\begin{cases} 3B+3C=15 \\ 3B-3C=1 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$6B=16$

Находим В:

$B=\dfrac{8}{3}$

Находим С:

$C=5-B=5-\dfrac{8}{3} =\dfrac{7}{3}$

Итак, представление для Х:

$X=-4\cdot\dfrac{1}{p}+ \dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}+\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}$

Преобразуем Y:

$\dfrac{11p-9}{p^3-9p}=\dfrac{A}{p}+ \dfrac{B}{p-3}+\dfrac{C}{p+3}=\\$

$=\dfrac{(A+B+C)p^2+3(B-C)p-9A}{p^3-9p}$

Получаем условие равенства:

$\begin{cases} A+B+C=0 \\ 3(B-C)=11 \\ -9A=-9 \end{cases}$

Из третьего уравнения:

$A=1$

Остается система:

$\begin{cases} 1+B+C=0 \\ 3(B-C)=11 \end{cases}$

$\begin{cases} B+C=-1 \\ 3B-3C=11 \end{cases}$

$\begin{cases} 3B+3C=-3 \\ 3B-3C=11 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$6B=8$

Находим В:

$B=\dfrac{4}{3}$

Находим С:

$C=-1-B=-1-\dfrac{4}{3} =-\dfrac{7}{3}$

Представление для Y:

$Y=\dfrac{1}{p}+ \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}-\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}$

Решение, записанное в изображениях:

$\begin{cases} X(p)=-4\cdot\dfrac{1}{p}+ \dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}+\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}\\ Y(p)=\dfrac{1}{p}+ \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}-\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}\end{cases}$

Обратное преобразование Лапласа:

$X(p) \rightarrow x(t)$

$Y(p) \rightarrow y(t)$

$\dfrac{1}{p} \rightarrow 1$

$\dfrac{1}{p-3} \rightarrow e^{3t}$

$\dfrac{1}{p+3} \rightarrow e^{-3t}$

Искомое решение:

$\begin{cases} x(t)=-4+ \dfrac{8}{3}e^{3t}+\dfrac{7}{3}e^{-3t}\\ y(t)=1+ \dfrac{4}{3}e^{3t}-\dfrac{7}{3}e^{-3t}\end{cases}$