Для начала разберемся с выражением в знаменателе. У нас есть выражение (x - 2) в знаменателе.
Поставим знаменатель равным нулю и найдем значения x, при которых это уравнение выполняется:
x - 2 = 0
x = 2
Теперь у нас есть точка разрыва функции, так как значение x = 2 делает знаменатель равным нулю. В эту точку логарифмическая функция не определена.
Теперь обратимся к числителю. Мы имеем выражение 10x - x^2. Найдем максимум или минимум этой функции. Для этого найдем ее производную и приравняем ее к нулю:
f(x) = 10x - x^2
f'(x) = 10 - 2x
10 - 2x = 0
2x = 10
x = 5
Таким образом, мы нашли, что функция достигает максимума или минимума, когда x = 5.
Теперь, зная точку разрыва (x = 2) и точку максимума или минимума (x = 5), мы можем разбить область определения функции на три интервала: (-∞, 2), (2, 5), (5, +∞).
Теперь рассмотрим каждый интервал по отдельности.
1. Для интервала (-∞, 2):
Поскольку x < 2, знаменатель (x - 2) будет отрицательным. Но для логарифма мы должны иметь положительный аргумент. Поэтому в этом интервале функция не определена.
2. Для интервала (2, 5):
В этом интервале знаменатель положителен, а значит, функция определена.
Теперь рассмотрим числитель отдельно: 10x - x^2.
Мы знаем, что значение x, при котором функция достигает максимума или минимума, равно 5. Подставим это значение в выражение:
10(5) - (5^2) = 50 - 25 = 25
Таким образом, на этом интервале числитель равен 25.
Теперь можно решить логарифмическую функцию:
y = lg((10x - x^2)/(x - 2))
На интервале (2, 5) и зная, что числитель равен 25, получим:
y = lg(25/(x - 2))
3. Для интервала (5, +∞):
В этом интервале знаменатель положителен, а значит, функция определена.
Поставим знаменатель равным нулю и найдем значения x, при которых это уравнение выполняется:
x - 2 = 0
x = 2
Теперь у нас есть точка разрыва функции, так как значение x = 2 делает знаменатель равным нулю. В эту точку логарифмическая функция не определена.
Теперь обратимся к числителю. Мы имеем выражение 10x - x^2. Найдем максимум или минимум этой функции. Для этого найдем ее производную и приравняем ее к нулю:
f(x) = 10x - x^2
f'(x) = 10 - 2x
10 - 2x = 0
2x = 10
x = 5
Таким образом, мы нашли, что функция достигает максимума или минимума, когда x = 5.
Теперь, зная точку разрыва (x = 2) и точку максимума или минимума (x = 5), мы можем разбить область определения функции на три интервала: (-∞, 2), (2, 5), (5, +∞).
Теперь рассмотрим каждый интервал по отдельности.
1. Для интервала (-∞, 2):
Поскольку x < 2, знаменатель (x - 2) будет отрицательным. Но для логарифма мы должны иметь положительный аргумент. Поэтому в этом интервале функция не определена.
2. Для интервала (2, 5):
В этом интервале знаменатель положителен, а значит, функция определена.
Теперь рассмотрим числитель отдельно: 10x - x^2.
Мы знаем, что значение x, при котором функция достигает максимума или минимума, равно 5. Подставим это значение в выражение:
10(5) - (5^2) = 50 - 25 = 25
Таким образом, на этом интервале числитель равен 25.
Теперь можно решить логарифмическую функцию:
y = lg((10x - x^2)/(x - 2))
На интервале (2, 5) и зная, что числитель равен 25, получим:
y = lg(25/(x - 2))
3. Для интервала (5, +∞):
В этом интервале знаменатель положителен, а значит, функция определена.
Аналогично предыдущему шагу, решим логарифмическую функцию:
y = lg((10x - x^2)/(x - 2))
На интервале (5, +∞) и зная, что числитель равен 25, получим:
y = lg(25/(x - 2))
Таким образом, решение данного выражения будет выглядеть следующим образом:
y = lg(25/(x - 2)) для интервалов (2, 5) и (5, +∞)