1. Найдите критические (стационарные) точки функции f(x)=2x 3 -9x 2 -
60x+127.
2. а)Исследуйте функцию f(x)=2x 2 -5x+1и постройте эскиз графика
б)Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=2x 2 -5x+1, в
точке графика с абсциссой x 0 =2.Построением проверить
3. Вычислите производные Найти значение производной в точке х 0
Сначала найдем производную функции f(x):
f'(x) = 6x^2 - 18x - 60.
Затем приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
6x^2 - 18x - 60 = 0.
Как видим, это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
D = (-18)^2 - 4 * 6 * (-60) = 324 + 1440 = 1764.
D > 0, следовательно, у уравнения есть два различных действительных корня.
x1 = (-(-18) + √1764) / (2 * 6) = (18 + 42) / 12 = 60 / 12 = 5.
x2 = (-(-18) - √1764) / (2 * 6) = (18 - 42) / 12 = -24 / 12 = -2.
Таким образом, у функции f(x) есть две критические (стационарные) точки: x = 5 и x = -2.
2.а) Чтобы построить эскиз графика функции, нужно выяснить ее основные характеристики: область определения, точку экстремума, точку перегиба, асимптоты и поведение в пределах каждой области.
Сначала найдем производную функции f(x):
f'(x) = 4x - 5.
Затем приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
4x - 5 = 0.
4x = 5,
x = 5/4.
Это точка экстремума функции.
Теперь найдем значение второй производной:
f''(x) = 4.
Так как f''(x) > 0, то функция f(x) - вогнутая вверх.
Асимптоты не существует, так как степень многочлена в числителе и знаменателе одинаковая.
Точка перегиба функции не существует, так как это - квадратная парабола.
Теперь построим эскиз графика функции, используя полученные данные.
2.б) Чтобы составить уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x = 2, нужно найти значение производной f'(x) в этой точке и использовать его для составления уравнения прямой.
Найдем значение производной f'(x) в точке x = 2:
f'(2) = 4 * 2 - 5 = 3.
Уравнение касательной имеет вид:
y - y0 = k(x - x0),
где (x0, y0) - точка, в которой требуется построить касательную, k - значение производной в данной точке.
Подставим значения:
y - f(2) = 3(x - 2),
y - (2(2)^2 - 5(2) + 1) = 3(x - 2),
y - (2 * 4 - 10 + 1) = 3(x - 2),
y - (8 - 10 + 1) = 3(x - 2),
y - (-1) = 3(x - 2),
y + 1 = 3(x - 2).
Теперь можно проверить полученное уравнение построением графика функции и касательной.
3. Чтобы вычислить производную и найти значение производной в точке x = x0, нужно выполнить следующие шаги.
- Найдите производную функции f(x).
- Подставьте значение x = x0 в производную полученной функции.
- Вычислите значение производной в точке x = x0.
Вы не указали конкретное значение х0 и функцию, для которой нужно вычислить производную, поэтому дополнительной информации для решения этой части вопроса недостаточно.