Для каждого из следующих бинарных отношений выясните, какими свойствами (рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) оно обладает и какими не обладает.
а) ρ= {(1,2),(2,1),(1,1),(1,3),(3,2),(3,3)} на множестве X = {1,2,3};
в) ρ= {(x,y): 2x = 3y} на множестве X= Z;
1) Рефлексивность - Бинарное отношение ρ называется рефлексивным, если для каждого элемента a из множества X существует пара (a,a) в ρ.
В данном случае, мы видим пары (1,1), (2,2) и (3,3), значит оно обладает свойством рефлексивности.
2) Симметричность - Бинарное отношение ρ называется симметричным, если для каждой пары (a,b) в ρ, пара (b,a) также принадлежит ρ.
В данном случае, мы видим пары (1,2) и (2,1), значит оно обладает свойством симметричности.
3) Антисимметричность - Бинарное отношение ρ называется антисимметричным, если из того, что для пар (a,b) и (b,a) в ρ, следует, что a=b.
В данном случае, мы видим пары (1,2) и (2,1), но a != b, поэтому оно не обладает свойством антисимметричности.
4) Транзитивность - Бинарное отношение ρ называется транзитивным, если для каждых пар (a,b) и (b,c) в ρ, пара (a,c) также принадлежит ρ.
В данном случае, мы видим пары (1,2) и (2,1), и пары (2,1) и (1,3), но нет пары (1,3). Поэтому оно не обладает свойством транзитивности.
Теперь перейдем ко второму бинарному отношению ρ= {(x,y): 2x = 3y} на множестве X= Z.
1) Рефлексивность - В данном случае, для каждого целого числа x из множества Z, мы можем найти такое целое число y, которое удовлетворяет условию 2x = 3y (например, x=0 и y=0). Значит оно обладает свойством рефлексивности.
2) Симметричность - Давайте рассмотрим пару (x,y) в ρ, где 2x = 3y. Если мы поменяем местами x и y, то получим условие 2y = 3x. Если первое условие выполняется, то и второе тоже выполняется. Значит оно обладает свойством симметричности.
3) Антисимметричность - Для пары (x,y) в ρ, где 2x = 3y, не существует пары (y,x), такой что 2y = 3x с одновременным выполнением условия x != y. Поэтому оно обладает свойством антисимметричности.
4) Транзитивность - Давайте рассмотрим пары (x,y) и (y,z) в ρ, где 2x = 3y и 2y = 3z. Подставляя второе условие в первое, получаем 2x = 3(2y/3) = 2y. Таким образом, мы получаем пару (x,y) и (y,y), что означает, что пара (x,y) также принадлежит ρ. Значит оно обладает свойством транзитивности.
В итоге, бинарное отношение ρ= {(1,2),(2,1),(1,1),(1,3),(3,2),(3,3)} на множестве X = {1,2,3} обладает свойствами рефлексивности и симметричности, и не обладает свойствами антисимметричности и транзитивности.
Бинарное отношение ρ= {(x,y): 2x = 3y} на множестве X= Z обладает свойствами рефлексивности, симметричности, антисимметричности и транзитивности.