Question

Математика 10-11 класс

1.Найдите угол между касательной к графику функции f(x)= x-5/x в точке х0=3 и осью ОХ.

2.Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 0,5x^2-2x в точке х0=1.

Answer 1

ответ: 1)  в зависимости от правильности условия α=arctg(5/9) или α=arctg(14/9)       2) y= -x - 0,5

Пошаговое объяснение:1) f(x)= (x-5) /x, x₀=3  f'(x)= ((x-5)'·x - x'(x-5))/x² =( x-x+5)/x²=5/x² ⇒ f'(x₀)= f'(3)=5/9 ,⇒ tgα=5/9 ⇒ α=argtg(5/9)        

     Или если f(x) = x - (5/x), то f'(x)=1 +(5/x²) ⇒ tgα= f'(3)=1+(5/9)= 14/9 ⇒ α=argtg (14/9)

2)f(x) = 0,5x²-2x в точке х₀=1.

1. f(x₀)= 0,5·1² - 2·1= 0,5- 2= -1,5

2.f'(x)=x-2 ⇒ f'(x₀) = f'(1)=1-2= -1  

Уравнение касательной  у= f(x₀)+f'(x₀)·(x-x₀) ⇒ y= -1,5-1·(x-1) = -1,5-x+1= -x-0,5

Answer 2

$\bebig{\large}1)f(x)=\frac{x-5}{x}\ \ x_0=3\\\\f'(x)=(1-\frac{5}{x})'=0-(-5*\frac{1}{x^2})=\frac{5}{x^2}\\\\ f'(x_0)=\frac{5}{3^2}=\frac{5}{9}\\\\ f'(x_0)=tg(\alpha)=\alpha=arctg(\frac{5}{9}) \\\\2)f(x)=0,5x^2-2x\ \ x_0=1\\\\y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\\\f(x_0)=0,5*1^2-2*1=0,5-2=-\frac{3}{2}\\\\f'(x)=2*0,5*x-2=x-2\\\\f'(x_0)=1-2=-1\\\\y=-(x-1)-\frac{3}{2}=1-x-\frac{3}{2}=-x-\frac{1}{2}$