⦁ Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая. Тема: «Применение производной к исследованию и построению графика функции», «Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке».
Перед тем, как начать, давайте определим переменные, которые будут использоваться в решении задачи:
x - длина одной из сторон прямоугольника (метры)
y - длина другой стороны прямоугольника (метры)
Также, у нас есть два ограничения:
Периметр прямоугольника равен 20 метрам: 2x + 2y = 20, что можно упростить до x + y = 10.
У одной из сторон прямоугольника есть ограничение: она прилегает к зданию, то есть должна быть равна некоторому заданному значению.
Теперь перейдем к формуле для площади прямоугольника:
S = x * y
Наша задача - найти такие значения x и y, чтобы площадь S была наибольшей. Мы будем исследовать функцию S(x), где x - это длина одной из сторон, а вторая сторона будет равна 10 - x (так как x + y = 10). Таким образом, мы можем записать:
S(x) = x * (10 - x)
Для исследования этой функции, мы вычислим ее производную S'(x):
S'(x) = 10 - 2x
Чтобы найти максимальное значение площади, мы должны найти те значения x, для которых производная равна нулю: S'(x) = 0. Теперь найдем эти значения:
10 - 2x = 0
2x = 10
x = 5
Таким образом, мы получили, что x = 5 метров. Исходя из ограничений, длина другой стороны y будет равна 10 - x = 10 - 5 = 5 метров.
Теперь, чтобы посчитать площадь участка, мы подставим найденные значения x и y в формулу площади:
S = x * y = 5 * 5 = 25 (квадратных метров)
Таким образом, чтобы получить максимальную площадь, нам нужно огородить участок размерами 5 метров на 5 метров, что даст нам площадь 25 квадратных метров.
На основании данного ответа можно построить график функции площади S(x), чтобы проиллюстрировать, как меняется площадь при изменении значения x.