Question

1.Дано координати вершин піраміди ABCD: А (4;1;4); B (-3;-1;-4); C (4;-5;1); D (-6;2;-6) Знайти : а) Довжину ребра АВ; б) Площу грані АВC
2. Дано координати вершин піраміди ABCD: А (4;1;4); B (-3;-1;-4); C (4;-5;1); D (-6;2;-6)
Знайти : а) Кут між ребрами ABiAD; б) Об’єм піраміди

Answer 1

1.Дано координати вершин піраміди ABCD: А (4;1;4); B (-3;-1;-4); C (4;-5;1); D (-6;2;-6)

Знайти : а) Довжину ребра АВ;

AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²) = -7 -2 -8 = √117 ≈ 10,81665.

б) Площу грані АВC

Находим вектор АС.

AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²) = 0 -6 -3 = √45 ≈ 6,70820.

Векторное произведение  АВ на АС равно:

i           j       k |          i            j

-7    -2    -8 |         -7     -2

0    -6     -3 |       0     -6 = 6i + 0j + 42k - 21j - 48i - 0k =

                                               = -42i - 21j + 42k = (-42; -21; 42).

Модуль равен √((-42)² + (-21)² + 42²) = √(1764+ 441 +1764) = √3969  = 63

Площадь равна (1/2)*63 = 31,5 кв.ед.

2. Дано координати вершин піраміди ABCD: А (4;1;4); B (-3;-1;-4); C (4;-5;1); D (-6;2;-6)

Знайти : а) Кут між ребрами AB i AD;

Вектор AD равен:

AD = √((xD-xA)²+(yD-yA)²+(zD-zA)²) = -10 1 -10 = √201 ≈ 14,1774.

Скалярное произведение AB на AD равно:

-7*(-10) + (-2)*1 + (-8)*(-10) = 70 - 2 + 80 = 148.

cos(AB_AD) = 148/( √117*√201) = 0,965096534 .

Угол равен 0,264984602 радиан или 15,18249931  градуса.

б) Об’єм піраміди.

Объём равен (1/6) смешанного произведения векторов AB, AC и AD.

(AB, AC) * AD = (-42; -21; 42)*(-10; 1; -10) = 420 - 21 - 420 = -21.

V = (1/6)*|-21| = 21/6 = 7/2 = 3,5 куб.ед.