Question

Найдите все значения параметра а, при которых система y(y-7)=xy-5(x+2) x<=6 (a(x-6)-2)/(y-2)=1 имеет единственное решение.

Answer 1

Для решения данной системы уравнений, мы сначала преобразуем второе уравнение для того, чтобы найти значение y через значение x:

(a(x-6)-2)/(y-2)=1

Раскроем скобки в числителе уравнения:

ax - 6a - 2 = y - 2

Прибавим 2 к обоим частям уравнения:

ax - 6a = y

Теперь подставим это значение y в первое уравнение:

y(y-7)=xy-5(x+2)

(ax - 6a)(ax - 6a - 7) = axy - 5x - 10

Раскроем скобки:

(a^2x^2 - 6a^2x - 7ax + 36a^2 + 42a + 10) = axy - 5x - 10

Теперь приведем подобные переменные:

a^2x^2 - 6a^2x - 7ax + 36a^2 + 42a + 10 = axy - 5x - 10

a^2x^2 - (axy + 6a^2x) - (7ax + 5x) + (36a^2 + 42a + 20) = 0

a^2x^2 - axy - 6a^2x - 7ax - 5x + 36a^2 + 42a + 20 = 0

Теперь используем дискриминант для определения количества решений:

D = b^2 - 4ac

D = (-a)^2 - 4(a^2)(-1)

D = a^2 + 4a^2

D = 5a^2

Чтобы система имела единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю:

5a^2 = 0

Решим это уравнение:

a^2 = 0

a = 0

Поэтому единственное значение параметра a, при котором система имеет единственное решение, равно 0.