Question

Вычислить определённый интеграл:

Answer 1

$-\frac{14\sqrt[4]{7}}{9}+2\sqrt[4]{3}$

Пошаговое объяснение:

Интеграл можно представить в виде $\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$, где R - рациональная функция своих аргументов. Для вычисления таких интегралов делается замена: $t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$, которая сведет интегрирование иррациональной функции к интегрированию рациональной функции.

Делаем в исходном интеграле замену: $t = \sqrt[4]{2x+5} = x = \frac{t^4-5}{2} = dx = 2t^3dt$

$\int\limits_{-1}^{1} \sqrt[4]{2x+5}xdx = \int\limits_{\sqrt[4]{3}}^{\sqrt[4]{7}}(t^8-5t^4)dt = \frac{t^9}{9} - t^5|^{\sqrt[4]{7}}_{\sqrt[4]{3}} = \frac{(\sqrt[4]{7})^9}{9} - (\sqrt[4]{7})^5-\frac{(\sqrt[4]{3})^9}{9} + (\sqrt[4]{3})^5 = \frac{49\sqrt[4]{7}}{9} - 7\sqrt[4]{7}-\sqrt[4]{3}+3\sqrt[4]{3} = -\frac{14\sqrt[4]{7}}{9}+2\sqrt[4]{3}$