Question

Составляется электрическая цепь из двух параллельно соединенных сопротивлений. При каком соотношении между этими сопротивлениями сопротивление всей цепи максимально, если при последовательном соединении этих сопротивлений оно равно R.

Answer 1

Добрый день! Для того чтобы ответить на ваш вопрос, нам необходимо использовать законы, которые определяют сопротивление в цепи.

Когда в цепи параллельно соединены сопротивления R₁ и R₂, общее сопротивление Rₚ обозначается следующей формулой:

1/Rₚ = 1/R₁ + 1/R₂ (1)

Соотношение между этими сопротивлениями может быть определено, используя данное выше уравнение.

Теперь, для того чтобы определить, при каком соотношении сопротивлений R₁ и R₂ сопротивление всей цепи будет максимальным, мы должны найти экстремум функции общего сопротивления Rₚ, изменяя переменные R₁ и R₂.

Давайте рассмотрим следующие шаги:

Шаг 1: Используя формулу (1), мы можем выразить Rₚ через R₁ и R₂:

1/Rₚ = 1/R₁ + 1/R₂.

Шаг 2: Чтобы найти максимум Rₚ, мы должны найти, при каких значениях R₁ и R₂ первая производная Rₚ равна нулю.

Для этого продифференцируем (1) по R₁:

d/dR₁ (1/Rₚ) = d/dR₁ (1/R₁ + 1/R₂).

Шаг 3: Теперь продифференцируем выражение по R₁ и приравняем его к нулю:

-1/R₁² = 0.

Шаг 4: Решим это уравнение относительно R₁:

-1/R₁² = 0.

Так как уравнение имеет вид 0 = 0, то у него бесконечное количество решений.

Это означает, что R₁ может быть любым положительным числом, а R₂ будет определяться соотношением, заданным в уравнении (1).

Таким образом, для того чтобы сопротивление всей цепи было максимальным, сопротивления R₁ и R₂ должны быть одинаковыми.

В общем виде, сопротивление всей цепи Rₚ для ситуации параллельного соединения определено следующей формулой:

Rₚ = (R₁ * R₂) / (R₁ + R₂).

При R₁ = R₂ = R/2, сопротивление всей цепи будет максимальным.