Question

Докажите тождество (см. вложение)

Answer 1

Рассмотрим слагаемое $kC_{n}^{k}$, $1\leq k\leq n$.

Это количество сочетаний из $n$ элементов по $k$, повторенное столько же раз.

Выстроим одну из комбинаций из $k$ элементов в строчку. Домножив на $k$, получим квадрат $k\times k$ элементов. То есть $kC_{n}^{k}$ — это множество квадратов. Теперь построим квадратную таблицу $n\times n$ (см.рис)

В первой строке будут первые строчки большинства квадратов, кроме $C_{n}^{0}$. Во второй строчке уже не будет $C_{n}^{1}$, поскольку квадраты $1\times C_{n}^{1}$ целиком умещаются в первой строчке. И т.д. Причем будет отсутствовать вычитаемое $nC_{n}^{n}$, т.к. этот квадрат содержит все строчки.

Пусть искомая сумма $S$. Сложив все строчки, получим $S=2^{n}n-nC_{n}^0-(n-1)C_{n}^1-...-C_{n}^{n-1}$, поскольку $C_{n}^i=C_{n}^{n-i}$, перепишем сумму:

$S=n2^n-S \Leftrightarrow S=2^{n-1}n$

Answer 2

Пошаговое объяснение:в приложении