1) При a = -1/2 уравнение имеет вид (1/2)х-(5/2)=0 х=5 - целый корень.
2) При а ≠ (-1/2) решаем квадратное уравнение (2a+1)x^2 -аx + a-2 = 0 D = (-а)² - 4·(2а+1)(а-2) = - 7a²+12а+8
Если D≥0 уравнение имеет корни
- 7a²+12а+8 ≥0
-7(a-a₁)(a-a₂) ≥0 или (a-a₁)(a-a₂) ≤0
при a₁≤a≤a₂ , где а₁=(12-√368)/14=(6-√92)/7≈-0,51; а₂=(12+√368)/14=(6+√92)/7≈2,22 уравнение имеет корни
x₁ = (а - √(- 7a²+12а+8)) / (4a+2) x₂ = (а +√(- 7a²+12а+8)) / (4a+2)
По условию оба эти корня должны быть целыми, то есть: дискриминант не может быть числом иррациональным.
1) D = (- 7a²+12а+8) должен быть квадратом. Если построить график u=-7а²+12а+8 на (-0,51;2,22), то u ∈ (0; 10,5)- множество значений дискриминанта. На интервале (0; 10,5) точные квадраты: 1; 4; 9
Решаем уравнения D=1 или - 7a²+12а+8=1 D=4 или - 7a²+12а+8=4 D=9 или - 7a²+12а+8=9
Может быть можно проверить и дробно-рациональные квадраты? D=1,21 D=1,44
и т.д.
При а = 2 дискриминант будет точным квадратом D = 4, уравнение принимает вид 5х²-2х=0 x₁=0 ; х₂=0,4 как видим, второй корень - рациональный. ответ. при а=-1/2
Одно решение у= - 8/10 х= 1/3