Question

Комбинаторика. В группе из 200 студентов 75 изучают предмет А, 70 - предмет В, 75 - предмет С, 35 - изучают А и С, 20 - изучают В и С, 25 - изучают А и В, 15 - изучают все три предмета. Сколько студентов изучают А или Б, но не изучают С?

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся формулой включений-исключений. По этой формуле количество элементов объединения нескольких множеств равно сумме количеств элементов каждого множества, уменьшенной на сумму количества элементов пересечений двух множеств, увеличенной на сумму количества элементов пересечений трёх множеств и так далее.

Пусть:
A - множество студентов, изучающих предмет А,
B - множество студентов, изучающих предмет В,
C - множество студентов, изучающих предмет С.

Требуется найти количество студентов, изучающих А или В, но не изучающих С. Обозначим это множество за D.

Используя формулу включений-исключений, выведем формулу для множества D:
|D| = |A ∪ B| - |C|

Теперь посчитаем значения каждого из этих множеств:

|A ∪ B| - количество студентов, изучающих А или В.
Для этого сложим количество студентов, изучающих предмет А, и количество студентов, изучающих предмет В:
|A ∪ B| = |A| + |B|

|C| - количество студентов, изучающих предмет С.

Построим таблицу и рассчитаем значения:
A B C
---------------------------
A 75 35
B 70 20
C 75 20

Из таблицы видно, что:
|A| = 75 + 35 - 15 = 95
|B| = 70 + 20 - 15 = 75
|C| = 75 + 20 - 15 = 80

Подставим найденные значения в формулу:
|D| = |A ∪ B| - |C| = (|A| + |B|) - |C| = (95 + 75) - 80 = 190 - 80 = 110

Таким образом, в нашей группе 110 студентов изучают предмет А или В, но не изучают предмет С.