Question

Исследовать на сходимость ряд

Answer 1

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{arcsin^n \dfrac{lnn}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}{arcsin \dfrac{lnn}{n}}=(*)$

Арксинус непрерывен на всей области определения. Тогда:

$(*)={arcsin \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{lnn}{n}}=(**)\\ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{lnn}{n}=\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\frac{1}{n}}{1}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0\\ (**)=arcsin0=0$

Тогда, по признаку Коши, ряд сходится

Answer 2

ряд сходится

Пошаговое объяснение:

используем радикальный признак Коши:

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}}= \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\arcsin^n\frac{\ln n}{n} }}=\lim\limits_{n \to \infty}\arcsin\frac{\ln n}{n} }=\\ \\ =\arcsin \left(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\ln n}{n} }\right)=\arcsin \{ \frac{\infty}{\infty} \}=\arcsin \left(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(\ln n)'}{n'} }\right)= \\ \\ =\arcsin \left(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n} }{1} }\right)=\arcsin \left(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n} }\right)=$

$=\arcsin \left(\frac{1}{\infty} }\right)=\arcsin 0=0$

0<1, значит ряд сходится