Question

1. Найти произведение двух матриц AB и BA, если это возможно A = (дробь 0 1 дробь 2 -3) B = (дробь 2 -3 дробь 4 5) 2. Вычислите производную функции:

1) f(x) = x3 + 12x2 + 21x - 10

2) y = x3 (4x2 - 5x + 3)

3) y = дробь 4x-2 3x+5

4) y = ctg (4x-3)

5) f (x) = (x2 - 3x) * (2x + 1)

3. Исследовать на экстремум и найти точки перегиба функции: y = x3 + 3x2 + 4

Answer 1

1. Найдем произведение двух матриц AB и BA с помощью обычного умножения матриц.

a) Для произведения AB:
У нас есть матрица A размером 2x2 и матрица B размером 2x2.

Первый элемент произведения AB будет равен сумме произведений элементов первой строки матрицы A на соответствующие элементы столбцов матрицы B.

Таким образом, элемент в позиции (1,1) произведения AB будет:
(0*2) + (1*4) = 0 + 4 = 4

Элемент в позиции (1,2) произведения AB будет:
(0*(-3)) + (1*5) = 0 + 5 = 5

Аналогично, элементы в позициях (2,1) и (2,2) произведения AB будут:
(2*2) + (-3*4) = 4 - 12 = -8
(2*(-3)) + (-3*5) = -6 - 15 = -21

Таким образом, матрица AB будет иметь вид:
| 4 5 |
|-8 -21|

b) Для произведения BA:
У нас есть матрица B размером 2x2 и матрица A размером 2x2.

Аналогично, элементы произведения BA будут равны сумме произведений элементов первой строки матрицы B на соответствующие элементы столбцов матрицы A.

Таким образом, элемент в позиции (1,1) произведения BA будет:
(2*0) + (-3*2) = 0 - 6 = -6

Элемент в позиции (1,2) произведения BA будет:
(2*1) + (-3*(-3)) = 2 + 9 = 11

Аналогично, элементы в позициях (2,1) и (2,2) произведения BA будут:
(4*0) + (5*2) = 0 + 10 = 10
(4*1) + (5*(-3)) = 4 - 15 = -11

Таким образом, матрица BA будет иметь вид:
|-6 11 |
|10 -11|

2. Вычислим производные функций:

a) f(x) = x^3 + 12x^2 + 21x - 10
Производная данной функции будет равна:
f'(x) = 3x^2 + 24x + 21

b) y = x^3(4x^2 - 5x + 3)
Применим правило производной произведения функций:
y' = (4x^2 - 5x + 3)(3x^2) + x^3(8x - 5)
y' = 12x^4 - 15x^3 + 9x^2 + 8x^4 - 5x^4
y' = 20x^4 - 15x^3 + 9x^2 - 5x

c) y = (4x - 2)/(3x + 5)
Применим правило производной частного функций:
y' = [(3x + 5)(4) - (4x - 2)(3)]/(3x + 5)^2
y' = (12x + 20 - 12x + 6)/(3x + 5)^2
y' = 26/(3x + 5)^2

d) y = ctg(4x - 3)
Производная от функции котангенса равна:
y' = -csc^2(4x - 3) * (4)
y' = -4csc^2(4x - 3)

e) f(x) = (x^2 - 3x)(2x + 1)
Применим правило производной произведения функций:
f'(x) = (2x + 1)(2x - 3x) + (x^2 - 3x)(2)
f'(x) = 2x^2 - 3x + 2x^2 - 6x + 2x^2 - 6x
f'(x) = 6x^2 - 15x

3. Чтобы исследовать функцию на экстремум и найти точки перегиба, нам нужно вычислить производные функции.

Данная функция y = x^3 + 3x^2 + 4 является кубической.

а) Вычислим производную первого порядка:
y' = 3x^2 + 6x

б) Вычислим производную второго порядка:
y'' = 6x + 6

Для исследования функции на экстремумы, найдем значения x, для которых y' = 0:
3x^2 + 6x = 0
3x(x + 2) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 0 и x = -2.

Подставим эти значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
y(0) = 0^3 + 3(0)^2 + 4 = 0 + 0 + 4 = 4
y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 4 = -8 + 12 + 4 = 8

Таким образом, экстремумы функции находятся в точках (0, 4) и (-2, 8).

Чтобы найти точки перегиба функции, вычислим значения x, для которых y'' = 0:
6x + 6 = 0
6x = -6
x = -1

Подставим значение x = -1 обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y:
y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 4 = -1 + 3 + 4 = 6

Таким образом, точка перегиба функции находится в точке (-1, 6).

Общий график функции y = x^3 + 3x^2 + 4 будет выглядеть так, как показано на рисунке.
[Вставьте изображение из ссылки]