Передаются два сообщения, каждое из которых может быть либо искажено, либо не искажено. Вероятность искажения при передаче первого сообщения составляет 0,2, вероятность искажения при передаче второго – 0,4. Случайная величина Х принимает значение 1, если первое сообщение искажено, и 0 в обратном случае; случайная величина Y принимает значение 1, если второе сообщение искажено, и 0 в обратном случае (индикаторы событий). Составить одномерные ряды распределения, закон распределения случайных величин X, Y и исследовать их зависимость; описать закон распределения случайной величины (X, Y).
Передаются два сообщения: A - первое сообщение, B - второе сообщение.
Согласно условию задачи, вероятность искажения первого сообщения (P(A)) равна 0,2, а вероятность искажения второго сообщения (P(B)) равна 0,4.
Также мы вводим случайные величины X и Y, которые принимают значение 1, если соответствующее сообщение искажено, и 0 в противном случае.
Заполним таблицу сопряженности:
| | A не искажено | A искажено |
|---|------------------|------------|
| B не искажено | ? | ? |
| B искажено | ? | ? |
Теперь нам нужно заполнить эту таблицу. Для этого мы воспользуемся формулой условной вероятности:
P(A|B) = P(A∩B)/P(B),
где P(A∩B) - вероятность того, что произошли события A и B одновременно, а P(B) - вероятность события B.
Мы знаем, что P(A) = 0,2 и P(B) = 0,4. Теперь нам нужно определить значения P(A∩B), то есть вероятность того, что и первое, и второе сообщения были искажены одновременно.
Чтобы определить P(A∩B), мы можем воспользоваться формулой условной вероятности:
P(A∩B) = P(B|A) * P(A),
где P(B|A) - вероятность того, что произошло событие B при условии, что произошло событие A.
Мы знаем, что P(B|A) = 0,4 (вероятность искажения второго сообщения при условии, что первое было искажено). Подставляя значения в формулу, получаем:
P(A∩B) = 0,4 * 0,2 = 0,08.
Теперь мы можем заполнить таблицу сопряженности:
| | A не искажено | A искажено |
|---|------------------|------------|
| B не искажено | ? | ? |
| B искажено | 0,08 | ? |
Осталось определить вероятность того, что X принимает значение 1 (X = 1) и вероятность того, что Y принимает значение 1 (Y = 1). Для этого мы можем просуммировать значения в каждом столбце и каждой строке таблицы.
Вероятность того, что X = 1, равна вероятности искажения первого сообщения P(A) = 0,2.
Вероятность того, что Y = 1, равна вероятности искажения второго сообщения P(B) = 0,4.
Теперь мы можем описать закон распределения случайной величины (X, Y):
Закон распределения случайной величины (X, Y) можно представить в виде таблицы:
| (X, Y) | P((X, Y)) |
|---------|-------------|
| (0, 0) | ? |
| (0, 1) | ? |
| (1, 0) | ? |
| (1, 1) | ? |
Для определения значений P((X, Y)) мы можем использовать таблицу сопряженности.
P((X, Y) = (0, 0)) = 1 - P(X = 1) - P(Y = 1) + P(A∩B) = 1 - 0,2 - 0,4 + 0,08 = 0,48.
P((X, Y) = (0, 1)) = P(Y = 1) - P(A∩B) = 0,4 - 0,08 = 0,32.
P((X, Y) = (1, 0)) = P(X = 1) - P(A∩B) = 0,2 - 0,08 = 0,12.
P((X, Y) = (1, 1)) = P(A∩B) = 0,08.
Таким образом, получаем закон распределения случайной величины (X, Y):
| (X, Y) | P((X, Y)) |
|---------|-------------|
| (0, 0) | 0,48 |
| (0, 1) | 0,32 |
| (1, 0) | 0,12 |
| (1, 1) | 0,08 |
В итоге, мы составили одномерные ряды распределения для случайных величин X и Y и описали закон распределения случайной величины (X, Y).