Question

Дана функция y=3x²-2x Составьте уравнение касательной и нормали к графику этой функции в точке с абсциссой Xo=-2 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x², y=0, x=-1, x=2

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1)

уравнение прямой, проходящей через точку

y = y(х₀) + y'(x₀)(x - x₀)

По условию задачи x₀ = -2,

найдем тогда y(х₀) = 16

Теперь найдем производную:

y' = (3*x2-2*x)' = 6x-2

у'(-2) = 6*(-2)-2 = -14

теперь все подставим в уравнение касательной и получим

y=16+(-14)(x--2) ;

y = -14x-12

теперь нормаль

общий вид нормали

$y= y(x_{0} - \frac{1}{y'(x_{0} )} (x-x_{0} )$

все данные у нас есть, поэтому запишем сразу уравнение нормали

$y= 16 - \frac{1}{-14} (x+2) = \frac{x}{14} - \frac{113}{7}$

2)  y₁=2x², y₂=0, x₁=-1, x₂=2

площадь фигура равна

$\int\limits^{x_{2} }_{x_{1} } {(y_{1}-y_{2} )} \, dx$

поскольку у нас все есть, просто считаем определенный интеграл

$\int\limits^{2 }_{-1} } {(2x^{2} )} \, dx = \frac{2x^{3} }{3} I_{-1} ^{2} = \frac{2*2^{3} }{3} -\frac{2*(-1)^{3} }{3} = 6$