Исследовать функцию f (x) = -x⁴+4х² и построить ее график.
1. Область определения функции - вся числовая ось.
2. Функция f (x) = -x⁴+4х² непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
f(–x) = (–x)⁴+4(–x)² = х⁴+4x² = f(x) и f(–x) = (–x)⁴+4–x)² = (x4+4x²) ≠ –f(x)
Функция является четной. Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
Ox: y=0, -x⁴+4x²=0, -x²(x²–4)=0 ⇒ x=0, x=+-2. Значит (0;0), (-2;0) и (2;0)- точки пересечения с осью Ox.
Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
y'=0 ⇒ -4x³+8x =0 ⇒ -4x(x²–2) = 0 ⇒ x = 0, x = √2, х = -√2 критические точки.
Промежутки монотонности, где функция возрастает или убывает, показаны в таблице стрелками. Экстремумы функции занесены в таблицу.
х = -1.5 -1.41 -1 -0.5 0 0.5 1 1.41 1.5
y '=-4x³+8x 1.5 0 -4 -3.5 0 3.5 4 0 -1.5
В точках х = -√2 и х = √2 производная меняет знак с + на - это максимум,
в точке х = 0 производная меняет знак с - на + это минимум.
7.
Вычисление второй производной: y''=0, -12x²+8 = 0,-4(3x²-2) = 0.
x= -1.5 -0.8165 -1 1 0.816497 1.5
y''=-12x²+8 -19 0 -4 -4 0 -19
Отсюда имеем 2 точки перегиба:
х₁ = √(2/3),
х₂ = -√(2/3).
8. Промежутки выпуклости и точки перегиба:
Направление выпуклости графика и точки перегиба занесены в таблицу.
x= -1 -0.817 -0.5 0.5 0.817 1
y''=-12x²+8 -4 0 5 5 0 -4.
Функция вогнутая на промежутках
[-sqrt(2/3), sqrt(2/3)]
Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(2/3)] U [sqrt(2/3), oo)
9. График функции приведен в приложении.
Подробнее - на -
Работа 1.
Задача №1. у Лены 6 тетрадей в клетку.
Задача №2.
Пошаговое объяснение:
Задача №1.
Клетка - 8 шт.
Линейка - ? шт, на 2 шт. меньше чем в клетку.
Решение: 8-2=6 шт.
ответ: у Лены 6 тетрадей в клетку.
Задача №2.
8-2=6
8-3=5
8-4=4
Задача №3
Мальчиков-5 дет. } сколько всего было детей
Девочек- ?, на 3 чел. больше. }
1)5+3=8(детей) - это кол-во девочек.
2) 5+8= 13(дет.)
ответ: В садике было 13 детей.
Задача №4
1 дм(10 см)< 12cм
10 дм(100 см) > 10 см
17 см >1 дм
Задача №5
Всего- 12 шт.
Миша- ? шт., на 5 шт. меньше чем всего.
Вася- ? шт., на 1 шт. меньше чем всего.
1) 12-5=7(шт.)- решил Миша.
2) 12-1=11(шт.)- решил Вася.
3) 11-7=4(шт)
ответ: Вася решил на 4 примера больше чем Миша.
UwU