Question

Решить дифф.уравнения-y'' + 8 y'+25y=2sin 3x

Answer 1

$y'' + 8y' + 25y = 2\sin 3x$

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами.

Общее решение этого уравнения: $y = y^{*} + \widetilde{y}$

$1) \ y^{*}$ — общее решение соответствующего однородного уравнения:

$y'' + 8y' + 25y = 0$

Воспользуемся методом Эйлера. Подстановка: $y = e^{kx}$.

Тогда получим характеристическое уравнение:

$(e^{kx})'' + 8(e^{kx})' + 25e^{kx} = 0$

$k^{2}e^{kx} + 8ke^{kx} + 25e^{kx} = 0 \ \ \ |:e^{kx}$

$k^{2} + 8k + 25 = 0$

$D = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 64 - 100 = -36$

$k_{1,2} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{36} \cdot \sqrt{-1}}{2} = \dfrac{-8\pm 6i}{2} = -4 \pm 3i$

Имеем комплексно-сопряженные корни вида $\alpha \pm \beta i$

Здесь $\alpha =-4$ и $\beta =3$

Тогда $\overline{y}_{1} = e^{(-4 + 3i)x}$ и $\overline{y}_{2} = e^{(-4 - 3i)x}$

Используем формулу Эйлера: $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi$

Значит, $\overline{y}_{1} = e^{(-4 + 3i)x} = e^{-4x} \cdot e^{3ix} = e^{-4x}(\cos 3x + i\sin 3x) = e^{-4x} \cos 3x + ie^{-4x}\sin 3x$

Таким образом, фундаментальная система решений: $y_{1} = e^{-4x}\cos 3x, \ y_{2} = e^{-4x}\sin 3x$ — линейно независимые функции.

Общее решение: $y^{*} = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} = C_{1} e^{-4x}\cos 3x + C_{2}e^{-4x}\sin 3x$

$2) \ \widetilde{y}$ — частное решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Для его нахождения используется метод подбора вида частного решения по виду правой части уравнения.

Правая часть второго типа: $f(x) = e^{\alpha x}\left(P_{s}(x)\cos \beta x + Q_{m}(x)\sin \beta x \right)$

В нашем уравнении $\alpha = 0, \ \beta = 3$ и не совпадает корнем однородного ЛДУ, а именно: $\alpha =-4$ и $\beta =3$, поэтому $\widetilde{y} = A\cos 3x + B\sin 3x$, где $A$ — неизвестный коэффициент, который нужно найти.

Здесь $\widetilde{y}' = -3A\sin 3x + 3B\cos 3x$ и $\widetilde{y}'' = -9A\cos 3x - 9B\sin 3x$

Подставим $\widetilde{y}, \ \widetilde{y} '$ и $\widetilde{y} ''$ в заданное уравнение со специальной правой частью:

$-9A\cos 3x - 9B\sin 3x + 8 \cdot (-3A\sin 3x + 3B\cos 3x) + \\+ 25(A\cos 3x + B\sin 3x) = 2\sin 3x$

$(16 A + 24B)\cos 3x + (-24A + 16B)\sin 3x = 0\cos 3x + 2\sin 3x$

$\displaystyle \left \{ {{16A + 24B = 0, \ } \atop {-24A + 16B = 2}} \right.$

$+ \displaystyle \left \{ {{48A + 72B = 0, \ } \atop {-48A + 32B = 4}} \right.$

$104 B = 4; \ B = \dfrac{4}{104} = \dfrac{1}{26}$

$16A + 24 \cdot \dfrac{1}{26} = 0; \ 16A = -\dfrac{12}{13} ; \ A = -\dfrac{3}{52}$

Частное решение: $\widetilde{y} = -\dfrac{3}{52} \cos 3x + \dfrac{1}{26} \sin 3x$

Общее решение заданного дифференциального уравнения:

$y = y^{*} + \widetilde{y} =C_{1} e^{-4x}\cos 3x + C_{2}e^{-4x}\sin 3x -\dfrac{3}{52} \cos 3x + \dfrac{1}{26} \sin 3x$

ответ: $y =C_{1} e^{-4x}\cos 3x + C_{2}e^{-4x}\sin 3x -\dfrac{3}{52} \cos 3x + \dfrac{1}{26} \sin 3x$