Question

ответить на теоретический вопрос и решить уравнение.

Answer 1

Предел последовательности. Раскрытие неопределенности $\left(\dfrac{\infty}{\infty} \right)$ (с примером).

Число $a$ называется границей числовой последовательности $\{x_{n} \}$, если для любого $\varepsilon 0$ существует такой номер $N(\varepsilon)$, что для всех $n N(\varepsilon)$ выполняется неравенство $|x_{n} - a| < \varepsilon$

Символично это записывается так: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ или $x_{n} \to a$ при $n \to \infty$

Для вычисления границ функций, заданных отношением двух многочленов в случае неопределенности типа $\left(\dfrac{\infty}{\infty} \right):$

а) в числителе и знаменателе выносится $x$ в наивысшей степени. После соответствующих сокращений и, учитывая, что дроби типа $\dfrac{1}{x^{n}} \to 0$ при $x \to \infty$, получаем значение рассматриваемой границы;

б) используются эквивалентные бесконечно большие, то есть

$P_{n}(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n} \sim a_{0}x^{n},$

$Q_{m}(x) = b_{0}x^{m} + b_{1}x^{m-1} + ... + b_{m} \sim b_{0}x^{m}$ при $x \to \infty$

Тогда

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{ a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n}}{b_{0}x^{m} + b_{1}x^{m-1} + ... + b_{m}} = \left\{\begin{array}{ccc}0, \ n < m,\\\dfrac{a_{0}}{b_{0}}, \ n = m\\\infty, \ n m\end{array}\right$

При вычислении дробей, которые содержат иррациональность, выполняются аналогичные приемы.

Пример: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2} + x + 1}{5x^{2} - x - 4}$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2} + x + 1}{5x^{2} - x - 4} = \left(\dfrac{\infty}{\infty} \right) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^{2}\left(2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(5 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{x^{2}} \right)} = \dfrac{2 + 0 + 0}{5 - 0 - 0} = \dfrac{2}{5}$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2} + x + 1}{5x^{2} - x - 4} = \left(\dfrac{\infty}{\infty} \right) = \left|\begin{array}{ccc}2x^{2} + x + 1 \sim 2x^{2}\\5x^{2} - x - 4 \sim 5x^{2}\\x \to \infty\end{array}\right| = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2}}{5x^{2}} = \dfrac{2}{5}$

Решить уравнение $-\cos^{2}x + \sin^{2}x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ и отобрать его корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; \ \pi]$

$-\cos^{2}x + \sin^{2}x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ | \cdot (-1)$

$\cos^{2}x - \sin^{2}x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$2x = \pm \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n, \ n \in Z$

$2x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in Z \ \ \ |:2$

$x = \pm \dfrac{\pi}{8} + \pi n, \ n \in Z$

Отбираем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; \ \pi]:$

$\displaystyle \left [ {{-\pi \leq \dfrac{\pi}{8} + \pi n \leq \pi, \ n \in Z \ \ \ \ \ \bigg| -\dfrac{\pi}{8} } \atop {-\pi \leq - \dfrac{\pi}{8} + \pi n \leq \pi, \ n \in Z \ \ \ \bigg| +\dfrac{\pi}{8} }} \right.$

$\displaystyle \left [ {{-\dfrac{9\pi}{8} \leq \pi n \leq \dfrac{7\pi}{8} , \ n \in Z \ \ \ | :\pi } \atop {-\dfrac{7\pi}{8} \leq \pi n \leq \dfrac{9\pi}{8}, \ n \in Z \ \ \ | :\pi }} \right.$

$\displaystyle \left [ {{-\dfrac{9}{8} \leq n \leq \dfrac{7}{8} , \ n \in Z } \atop {-\dfrac{7}{8} \leq n \leq \dfrac{9}{8}, \ n \in Z}} \right.$

$\displaystyle \left [ {{n = \{-1; \ 0\} } \atop {n = \{0; \ 1 \} \ \ }} \right.$

Таким образом:

$x_{1} = \dfrac{\pi}{8} - \pi = -\dfrac{7\pi}{8}$

$x_{2} = \dfrac{\pi}{8} + 0\pi = \dfrac{\pi}{8}$

$x_{3} = -\dfrac{\pi}{8} + 0\pi = -\dfrac{\pi}{8}$

$x_{4} = -\dfrac{\pi}{8} + \pi = \dfrac{7\pi}{8}$

ответ: $x= \left\{-\dfrac{7\pi}{8}; \ -\dfrac{\pi}{8}; \ \dfrac{\pi}{8}; \ \dfrac{7\pi}{8} \right\}$