Question

Вычислить несобственный интеграл

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\int\limits^1_0 {\frac{x^3}{\sqrt[4]{1-x^4} } } \, dx.\\$

Сначала вычислим неопределённый интеграл.

Пусть 1-x⁴=u    ⇒   du=d(1-x⁴)=-4*x³dx        x³dx=-du/4.    ⇒

$\int\limits {(-\frac{1}{4}*\frac{1}{\sqrt[4]{u} } } \,)du =-\frac{1}{4}*\int\limits {u^{-\frac{1}{4} } \, du=-\frac{1}{4} *(-\frac{4}{3})*u^{\frac{3}{4}}=- \frac{1}{3} *u^{\frac{3}{4}} =-\frac{1}{3}*(1-x^4)^{\frac{3}{4} .$

Подставляем пределы интегрирования:

$-\frac{1}{3}*(1-x^4)^{\frac{3}{4} }|_0^1=-\frac{1}{3} * ((1-1^4)^{\frac{3}{4}}-(1-0^4)^{\frac{3}{4}})=-\frac{1}{3} *(0-1)=-\frac{1}{3}*(-1)=\frac{1}{3}.$