Question

Рационально ли число sqrt(3)+sqrt(5) (корень из трех плюс корень из пяти)?

Answer 1

Нет

Пошаговое объяснение:

Допустим, что число $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ рационально, тогда при возведении в квадрат оно останется рациональным. $(\sqrt{3} +\sqrt{5} )^{2} = 3+2*\sqrt{15} + 5 = 8+\sqrt{60}$ , так как 8 целое, то $\sqrt{60}$ рациональное. Пусть оно равно $\frac{m}{n}$, где m - целое, n - натуральное, а дробь несократима. Тогда $\frac{m^{2} }{n^{2} }$ = 60, так как 60 делится на 3, то $m^{2}$ делится на 3, значит m делится на 3, а $m^{2}$ делится на 9, но так как 60 не делится на 9, то $n^{2}$ делится на 3, а значит n делится на 3, значит дробь сократима - противоречие, тогда $\sqrt{60}$  не является рациональным числом, значит $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ тоже не является рациональным числом