Question

К числу прибавляют сумму его цифр, к полученному числу опять прибавляют сумму его цифр и т.д ( 8 = > 16 => 23 => 28 => 38 ..). Может ли в результате такой операции получиться число записанное одними 5 (555..55), одними 8 (888...88) , где количество цифр больше 3?

Answer 1

Для каждой цифры A (A≠0) число $\overline{AA...A}$ из 11 цифр делится на A, причем $\overline{AA...A}=A*\underbrace{11...1}_{11}$

Тогда Возьмем число $\overline{AA...A}*100$ - оно оканчивается на 2 нуля. Сумма цифр такого числа равна $11A=\overline{AA}$ . Тогда сумма исходного числа и его суммы цифр равна $\overline{\underbrace{AA...A}_{11}00}+\overline{AA}=\overline{\underbrace{AA...AAA}_{13}}$ - получено число, удовлетворяющее условию задачи.

ответ: да, может