Question

Три числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма этих чисел равна 12, а
эти числа, увеличенные на 1, 2 и 11 соответственно, образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Answer 1

1, 4, 7 или 17, 4, -9

Пошаговое объяснение:

Пусть даны числа a, b, c. Тогда a + b + c = 12. Чтобы использовать информацию о том, что данные числа образуют арифметическую прогрессию, а увеличенные числа — геометрическую, воспользуемся соответствующими характеристическими свойствами этих прогрессий:

$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}\Leftrightarrow 2b=a+c\\(b+2)^2=(a+1)(c+11)$

Тогда получим систему из трёх уравнений:

$\begin{cases}a+b+c=12, (1)\\2b=a+c,(2)\\(b+2)^2=(a+1)(c+11)\ (3)\end{cases}$

Выразим из (1) a + c = 12 - b и подставим во (2):

$2b=12-b\Leftrightarrow 3b=12\Leftrightarrow b=4$

Тогда, подставив это значение в (1) и (3), получим

$\displaystyle \left \{ {{a+c=8,} \atop {36=(a+1)(c+11)}} \right. \\\left \{ {{c=8-a,} \atop {36=(a+1)(19-a)}} \right.$

Решим последнее уравнение:

$-a^2+18a+19=36\\a^2-18a+17=0\\$

По теореме Виета a = 1; 17. Тогда соответственно c = 7; -9.

Действительно, в первом случае числа 1, 4, 7 — арифметическая прогрессия с разностью d = 3, а числа 2, 6, 18 — геометрическая прогрессия со знаменателем q = 3. Во втором случае числа 17, 4, -9 — арифметическая прогрессия с разностью d = -13, а числа 18, 6, 2 — геометрическая прогрессия со знаменателем q = ¹/₃.