Question

Решить задачу коши x’’-x’-6x=2 x(0)=2, x’(0)=0

Answer 1

$x(t)=\frac{14}{15}e^{3t}+\frac{7}{5}e^{-2t}-\frac{1}{3}$

Пошаговое объяснение:

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Характеристическое уравнение:

$k^2-k-6=0 \\ k_1=3 \\ k_2=-2$

Общее решение однородного ДУ:

$x_0=C_1e^{3t}+C_2e^{-2t}$

Частное решение неоднородного ДУ

$\widetilde{x}=Ax^s$

где s - кратность корня k=0

s=0, значит

$\widetilde{x}=A; \ \widetilde{x}'=0; \ \widetilde{x}''=0 \\ \\ \widetilde{x}''-\widetilde{x}'-6\widetilde{x}=2 \\ -6A=2 \\ A=-\frac{1}{3}$

Общее решение неоднородного ДУ

$x(t)=x_0+\widetilde{x}=C_1e^{3t}+C_2e^{-2t}-\frac{1}{3}$

Задача Коши:

$\left\{\begin{matrix}x(t)=C_1e^{3t}+C_2e^{-2t}-\frac{1}{3} \\ x'(t) =3C_1e^{3t}- 2C_2e^{-2t} \end{matrix}\right. \\ \\ x(0)=2, \ x'(0)=0 \\ \\ \left\{\begin{matrix} 2=C_1+C_2-\frac{1}{3} \\ \\ 0 =3C_1- 2C_2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=\frac{2C_2}{3} +C_2-\frac{1}{3} \ |*3 \\ \\ C_1= \frac{2C_2}{3} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6=2C_2+3C_2-1 \\ \\ C_1= \frac{2C_2}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5C_2=7 \\ \\ C_1= \frac{2C_2}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C_2=\frac{7}{5} \\ \\ C_1= \frac{2*\frac{7}{5} }{3}=\frac{14}{15} \end{matrix}\right.$

Частное решение неоднородного ДУ:

$x(t)=\frac{14}{15}e^{3t}+\frac{7}{5}e^{-2t}-\frac{1}{3}$