Question

Виктор прекрасно понимает, что шанс поступить сразу после окончания школы равен 0,7, а в каждый последующий год вероятность успешного поступления будет равна 0,4. Какое наименьшее число попыток сдачи экзаменов потребуется для того, чтобы вероятность поступления в любимый вуз была не менее 99%?

Answer 1

8

Пошаговое объяснение:

Виктор или поступит в первый год, или не поступит в первый год и поступит во второй, или не поступит в первый и во второй и поступит в третий и т. д. Условно говоря, там, где "или" — складываем, а там, где "и" — умножаем. Тогда неравенство будет выглядеть так:

0,7 + 0,3 * 0,4 + 0,3 * 0,6 * 0,4 + 0,3 * 0,6 * 0,6 * 0,4 + ... ≥ 0,99.

Пусть попыток было x. Тогда последнее произведение неравенства равно 0,3 * 0,6ˣ⁻¹ * 0,4. Вынесем за скобки 0,3 * 0,4:

0,7 + 0,3 * 0,4 * (1 + 0,6 + 0,6² + ... + 0,6ˣ⁻¹) ≥ 0,99

В скобках — сумма членов геометрической прогрессии, она равна

$\dfrac{1\cdot(1-0{,}6^{x-1})}{1-0{,}6}=\dfrac{1-0{,}6^{x-1}}{0{,}4}$. Неравенство преобразуется к следующему:

$0{,}7+0{,}3\cdot(1-0{,}6^{x-1})\geq 0{,}99$

При увеличении x уменьшается 0,6ˣ⁻¹, так как 0,6 < 1, а значит, левая часть монотонно увеличивается.

Заметим, что при x = 7 вероятность приближённо равна 0,986 < 0,99, а при x = 8 — 0,992 > 0,99. Значит, наименьшее число попыток равно 8.