Question

На доске было на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Эти числа раз­би­ли на три груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых ока­за­лось хотя бы одно число. К каж­до­му числу из пер­вой груп­пы при­пи­са­ли спра­ва цифру 2, к каж­до­му числу из вто­рой груп­пы при­пи­са­ли спра­ва цифру 4, а числа тре­тьей груп­пы оста­ви­ли без из­ме­не­ний. а) Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 7 раз? б) Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 14 раз? в) В какое наи­боль­шее число раз могла уве­ли­чить­ся сумма всех этих чисел?

Answer 1

а) Могло. В первой группе число 2, во второй 8, в третьей 6.

б) Пусть в первой группе $x$ чисел и их сумма $a$, во второй соответственно $y$ чисел, сумма $b$, сумма в третьей группе равна $c$. Предположим, что могла. Значит, $10a+2x+10b+4y+c=14a+14b+14c$, откуда $4a+4b+13c=2x+4y\leq 2a+4b \Rightarrow 2a+13c\leq 0$, что невозможно.

в) Рассмотрим набор чисел, дающих максимальное увеличение. Тогда в первой группе одно число (иначе мы могли бы взять число из первой группы и перенести во вторую, тем самым сделав набор более выгодным). Аналогично в третьей группе одно число. Пусть во второй группе найдется число, которое меньше числа третьей группы. Тогда их можно поменять местами, улучшив набор. Значит, число третьей группы меньше любого числа из второй. Если число первой группы меньше числа третьей, то их можно поменять, опять же улучшив набор. Следовательно, число первой группы больше числа третьей. Заметим, что число тем больше увеличивается после операции, описанной в задачи, чем оно меньше. Поэтому структура групп такова: в первой группе число 2, во второй числа $3,...,n$, а в третьей $1$. Сумма до операции равна $\frac{n(n+1)}{2}$. После операции: $23+10(\frac{n(n+1)}{2} -3)+4(n-2)=5n^2+9n-15$. Увеличение равно $2\times\frac{5n^2+9n-15}{n^2+n}$, теперь можно исследовать эту функцию. После становится ясно, что максимум находится либо в точке 8, либо в точке 7. Для $n=7$: $\frac{293}{28}$, для $n=8$: $\frac{377}{36}$ — это больше, чем предыдущее значение. Итак, сумма чисел могла увеличится максимум в $\frac{377}{36}$ раза, это соответствует набору $\{2\},\;\{3,4,5,6,7,8\},\;\{1\}$.

Наверное, так

Answer 2

а) могло. Например, числа 3, 7, 6. Проверим 3+7+6=16, а после приписывания 2 и 4 получим соответственно 32+74+6=112, и т.к. 16*7=112, то первое условие выполнено.

б)Пусть в первой группе x чисел, их сумма равна A, во второй группе y чисел, сумма B; в третьей группе z чисел, сумма C.

После приписывания цифр к числам 1и 2 групп получим, что сумма x чисел такого вида будет равна 10A+6х.

Во второй группе сумма станет равна 10B+9y.  Предположим, что увеличение в 14 раз возможно. Тогда общая сумма равна

10A+10B+2x+4y+C=14*(А+В+С); 2x+4y=4А+4В+13С. Ясно, что х и у- количество чисел в 1 и 2 группах. это натуральные числа, большие или равные единице. А, В, С - сумма чисел в группах. А≥х, В≥у, тогда

4А+4В≥4х+4у≥2x+4y; 4А+4В+13С≥2x+4y.

предположение было неверно, сумма не могла увеличиться в 14 раз.

в)Пусть сумма чисел увеличилась в m раз.

Получим: 10A+10B+2x+4y+C = m (A+B+C), откуда m= (10A+10B+2x+4y+C)/(A+B+C)=10+(2х+4у-9)/(А+В+С);  чем больше C, тем меньше будет m.  Так как C ≥ 1, то m≤10+(2х+4у-9)/(А+В+С);

Пусть x+y+z=n, то есть всего на доске n чисел. Тогда  количество чисел должно быть больше во второй группе, если мы хотим получить большее значения выражения 2x+4y, поэтому   не получится сделать больше, чем в случае, когда все числа, кроме двух, находятся во 2 группе, а в 1-й и 3-ей группах остается по одному числу. и . значит, m≤10+(2+4(n-2)-9)/(А+В+С);

A+B+C – сумма всех n чисел. Так как числа различны, их сумма не меньше, чем 1+2+3+ ...+n, то есть не меньше суммы арифметической прогрессии с a₁= 1 и d=1.   A+B+C ≥1+2+3+...n; по формуле суммы ар. прогрессии A+B+C ≥((1+n)/2)* n ; тогда  1/(А+В+С)≤2/((1+n)*n);  

m≤10+2*(2+4(n-2)-9)/(n*(n+1)=10+2*(2+4n-8-9)/(n*(n+1)=10+2*(4n-15)/(n*(n+1)-получили  последовательность, то есть функцию натурального аргумента; она дискретна, то есть принимает некоторые значения при n = 1, 2 ,3 ...n,  не определена при n∉N.

найдем производную этой функции и исследуем наибольшее значение выражения (4n-15)/(n*(n+1), производная равна

4*(n²+n)-(2n+1)*(4n-15)/(n*(n+1))², после преобразований

(-4*n²+30n+15)/(n*(n+1))²,   (4*n²-30n-15)=0; откуда n=(15±√(225+60)/4);

√285≈16.88; n=(15+17)/4)=8; n=(15-17)/4)=-1/2

-1-1/28

                                +               -

при переходе через критическую точку 8 производная меняет знак с плюса на минус, в этой точке максимум.

Более точно:  (15+√256)/4≤(15+√(285)/4)≤(15+√289)/4

(15+√256)/4≤(15+√(285)/4)≤(15+√289)/4

(15+16)/4≤(15+√(285)/4)≤(15+7)/4

(31)/4≤(15+√(285)/4)≤(32)/4=8

31/4<n<8

n(31/4)=16(4*(31/4)-15)/(31*35)=256/1085≈0.2359

n(8)=(4*8-15)/(8*9)=17/72≈0.2361;  Значит, наибольший член последовательности 8

тогда m≤10+2*(4n-15)/(n*(n+1)=10+2*17(8*9)=10+17/36=377/36.

Это оценка.

Приведём пример для n = 8, m = 377/36

На доске 8 чисел. Возьмём числа 1, 2, 3, 4, 5,7,8

В первой группе: число 2.

В третьей число 1.

Во второй: 3, 4, 5,6,7,8.

После преобразований получим числа: 22, 34, 44, 54,64; 74; 84;1.

Их сумма

22+34+44+54+64+74+84+1=377= (377/36)*(1+2+3+4+5+6+7+8)

ответ:  можно увеличить максимально в 377/36 раз, ≈10.5