Question

Найдите площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 5 и радиусом вписанной в него окружности, равным 1.

Answer 1

6

Пошаговое объяснение:

Пусть катеты равны a и b, тогда радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен:

$r=\frac{a+b-c}{2}\\ \\ 1=\frac{a+b-5}{2} \ \Rightarrow \ a+b-5=2 \ \Rightarrow \ a=7-b$

Также возьмем теорему Пифагора:

$a^2+b^2=c^2 \\ \\ a^2+b^2=25$

Решим систему методом подстановки:

$\left\{\begin{matrix}a=7-b\\ a^2+b^2=25\end{matrix}\right.$

$(7-b)^2+b^2=25 \\ 49-14b+b^2+b^2=25 \\ 2b^2-14b+24=0 \ |:2 \\ b^2-7b+12=0 \\ b_1=3; \ b_2=4 \\ \\ a_1=7-b_1=7-3=4 \\ a_2=7-b_2=7-4=3$

Получается треугольник с катетами 3 и 4.

Его площадь: S=ab/2=3*4/2=6