ответ: 3 решения
Пошаговое объяснение:
Преобразуем уравнение:
5^x +1 = 2*cos^2(0.5x)
2cos^2(0.5x) = 1+cos(x) - формула понижения степени
5^x +1 = 1+cos(x)
5^x = cos(x)
Пусть x>0, но тогда 5^x>1, а сos(x)<=1 , то есть решений на данном промежутке не существует.
Таким образом, нас интересует отрезок:
x∈[-2π;0] , на этом промежутке 0<5^x<=1 (прямая x=0 его горизонтальная ассимптота)
Рассмотрим отрезок : [-2π; -π]
cos(-2π)=1
cos(-π) = -1
Причем на этом промежутке сos(x) монотонно убывает.
Поскольку 5^x на данном промежутке монотонно возрастает, причем 0<5^(x) <1, а функция сos(x) монотонно убывает от 1 до -1, то на данном промежутке график сos(x) пересекает 5^x ровно в одной точке, что очень хорошо видно при построении графика.
Рассмотрим промежуток: x∈(-π; 0]
На данном промежутке сos(x) монотонно возрастает от -1 до 1 , функция 5^x так же монотонно возрастает от 5^(-π) до 1 , то они могут пересечься в не более чем двух точках.
Заметим , что 5^0 = cos(0) = 1 , то есть как минимум одно решение .
Так же заметим, что сos(-π/3) = 0.5
5^(-π/3) = 1/5^(π/3) , поскольку π>3
π/3>1 , поскольку 5>1
5^(π/3) > 5^1
1/5^(π/3) <1/5
5^(-π/3)<0.2 <0.5 = cos(-π/3)
C другой стороны: сos(-π/2)=0 < 5^(-π/2)
Таким образом, на промежутке : (-π/2;-π/3) существует еще одно решение.
То есть всего 3 решения.
ответ: 3.
Пошаговое объяснение:
Так как 0≤2*cos²(0,5*x)≤2 и 0<5^x+1, то последнее неравенство с учётом первого можно переписать в виде 5^x+1≤2. Отсюда 5^x≤1 и x≤log_5(1)=0, то есть x≤0. Поэтому интервал [-2*π;2*π] сужается до интервала [-2*π;0]. Очевидным корнем уравнения является x=0. Но так как 5^(-2*π)<2*cos²[0,5*(-2*π)]=1, а 5^(-π)>2*cos²[0,5*(-π)]=0, то на интервале (-2*π; -π) данное уравнение имеет ещё один корень x≈-1,51*π. И наконец, на интервале (-π; -0) данное уравнение также имеет один корень x≈-0,48*π. Поэтому всего уравнение имеет 3 корня.