Question

Решите задачу с параметром
Желательно с объяснением

Answer 1

$cos2x - \sqrt{3}sin2x - 2\sqrt{3}cosx + 2sinx = a\\2(\frac{1}{2}cos2x - \frac{\sqrt{3}}{2}sin2x) - 4(\frac{\sqrt{3}}{2}cosx + \frac{1}{2}sinx) = a\\ 2sin(\frac{\pi }{6}-2x) - 4sin(\frac{\pi}{3}+x) = a\\$

$f(x) = 2sin(\frac{\pi}{6}-2x) - 4sin(\frac{\pi}{3}+x)\\ f'(x) = -4cos(\frac{\pi}{6}-2x) - 4cos(\frac{\pi}{3}+x)\\f'(x) = 0 = -4cos(\frac{\pi}{6}-2x) - 4cos(\frac{\pi}{3}+x) = 0\\cos(\frac{\pi}{6}-2x) + cos(\frac{\pi}{3}+x) = 0\\2cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})cos(\frac{\pi}{12}+\frac{3x}{2}) = 0\\ cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = 0 = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z\\ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z\\ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z\\$

$cos(\frac{\pi}{12}+\frac{3x}{2}) = 0 = \frac{\pi}{12}+\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z\\\frac{3x}{2} = \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in Z\\x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z$

Далее, раставляя точки на прямой и находя соответствующие значения функции, определяем минимум и максимум.

Максимальное значение в точке x = $\frac{17\pi}{8} + 2\pi m, m \in Z\\$, минимальное - $x = \frac{5\pi}{18} + 2\pi v, v \in Z$

Найдем этим значения:

$f(\frac{5\pi}{18}) = 2sin(\frac{\pi}{6} - \frac{5\pi}{9}) - 4sin(\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{18}) = 2sin(-\frac{21\pi}{54}) - 4sin(\frac{11\pi}{18}) = -2sin\frac{7\pi}{18} - 4sin\frac{11\pi}{18}$

$f(\frac{17\pi}{18}) = 2sin(\frac{\pi}{6} - \frac{17\pi}{9}) - 4sin(\frac{\pi}{3} + \frac{17\pi}{18}) = 2sin(-\frac{31\pi}{18}) - 4sin(\frac{23\pi}{18}) = -2sin\frac{31\pi}{18} - 4sin\frac{23\pi}{18} = -2sin(2\pi - \frac{7\pi}{18}) - 4sin(\pi + \frac{5\pi}{18}) = 2sin\frac{7\pi}{18} + 4sin\frac{5\pi}{18}\\f(\frac{5\pi}{18}) + f(\frac{17\pi}{18}) = -2sin\frac{7\pi}{18} - 4sin\frac{11\pi}{18} + 2sin\frac{7\pi}{18} + 4sin\frac{5\pi}{18} = 4(sin\frac{5\pi}{18} - sin\frac{11\pi}{18}) =$

$= 8sin(-\frac{\pi}{6})cos\frac{17\pi}{36} = -4cos\frac{17\pi}{36} = -4sin\frac{\pi}{36}$

ответ: $-4sin\frac{\pi}{36}$